Question

如圖，已知⊙與⊙相交于、兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作⊙的切線交⊙O2于點(diǎn)，過點(diǎn)作兩圓的割線，分別交⊙、⊙于點(diǎn)、，與相交于點(diǎn).[來源

（1）求證：；

（2）若是⊙的切線，且，，求的長．

 

 

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）

【解析】

試題分析：（1）圓的切線的性質(zhì)定理圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑，推論1經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必過切點(diǎn)，推論2經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必過圓心；（2）圓的切線的性質(zhì)定理經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直徑是圓的切線；若已知條件中直線與圓的公共點(diǎn)不明確，則應(yīng)過圓心作直線的垂線，得到垂線段，設(shè)法證明這條垂線段的長等于圓的半徑；（3）掌握與圓有關(guān)的比例線段，如相交弦定理，割線定理，切割線定理，切線長定理.

試題解析：【解析】
（I）∵AC是⊙O1的切線，∴∠BAC＝∠D，

又∵∠BAC＝∠E，∴∠D＝∠E，∴AD∥EC. 5分

（II）設(shè)BP＝x，PE＝y(tǒng)，∵PA＝6，PC＝2，

∴＝12 ①

∵AD∥EC，∴，∴ ②

由①、②解得 （∵x>0，y>0）

∴DE＝9＋x＋y＝16，

∵AD是⊙O2的切線，∴AD2＝DB·DE＝9×16，∴AD＝12. 11分

考點(diǎn)：（1）證明直線與直線平行；（2）求切線長.