Question

3．已知點P在以坐標軸為對稱軸，長軸在x軸上的橢圓上，點P到橢圓兩焦點的距離分別為4$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$，且點P與兩焦點連線所成角的平分線交x軸于Q（1，0），求橢圓的方程．

Answer 1

分析 利用橢圓的定義及角平分線的性質(zhì)，求出a，c，可得b，即可求橢圓的方程．

解答 解：由題意，2a=4$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$=6$\sqrt{3}$，∴a=3$\sqrt{3}$，
∵點P與兩焦點連線所成角的平分線交x軸于Q（1，0），
∴$\frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{1+c}{c-1}$，∴c=3，
∴b=$\sqrt{27-9}$=3$\sqrt{2}$，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{27}+\frac{{y}^{2}}{18}$=1．

點評 本題考查求橢圓的方程，考查橢圓的定義及角平分線的性質(zhì)，正確運用橢圓的定義及角平分線的性質(zhì)是關(guān)鍵．