Question

已知函數(shù)f（x）=

a

3

x3+

b

2

x2-a2x

，a＞0

 ，x1，x2是兩個(gè)極值點(diǎn)，且|x1|+|x2|=2
（1）求證：0＜a≤1．（2）求證：|b|≤

4

9

3

．

Answer 1

分析：（1）先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)f（x）=

a

3

x³+

b

2

x²-a²x（a＞0）的兩個(gè)極值點(diǎn)為x₁，x₂（x₁≠x₂），可以得到△＞0且由韋達(dá)定理可得x₁+x₂，x₁x₂，把等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于x₁+x₂，x₁x₂的關(guān)系式，求出a、b的關(guān)系，即可求出a的范圍；
（2）把a(bǔ)看成未知數(shù)x，求三次函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)求極值，是b²最大值，開(kāi)方可求|b|的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=

a

3

x³+

b

2

x²-a²x（a＞0）
∴f′（x）=ax²+bx-a²（a＞0）
∵函數(shù)f（x）=

a

3

x³+

b

2

x²-a²x（a＞0）的兩個(gè)極值點(diǎn)為x₁，x₂（x₁≠x₂），
∴f'（x）=0有兩不等實(shí)根x₁，x₂（x₁≠x₂），
∴△＞0，∴

1

4

b²+

4

3

a³＞0，恒成立，
∴x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=-a，∵|x₁|+|x₂|=2，
∴（|x₁|+|x₂|）²=x₁²+x₂²-2x₁x₂=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4，
∴(-

b

a

)2+4a=4，則(-

b

a

)2=4-4a≥0
∴0＜a≤1
（2）根據(jù)（1）得b²=-4a³+4a²
設(shè)t=-4a³+4a²，則t′=-12a²+8a=-4a（3a-2）（0＜a≤1），
令t′＞0，得0＜a＜

2

3

，t′＜0，得

2

3

＜a＜1，
t在（0，

2

3

]是增函數(shù)，在（

2

3

，+∞）是減函數(shù)，
∴a=

2

3

取得t最大96，∴b²最大值為

16

27

，即|b|≤

4

9

3

．

點(diǎn)評(píng)：由原函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷出導(dǎo)函數(shù)解的個(gè)數(shù)，利用判別式得參數(shù)的關(guān)系，用韋達(dá)定理把參數(shù)和解聯(lián)系起來(lái)，韋達(dá)定理是個(gè)很好的“橋梁”，求最大值要先求極大值，三次函數(shù)一般用導(dǎo)數(shù)來(lái)求．