Question

3．已知函數(shù)f（x）=x+ax²+blnx．
（1）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極小值2，求a，b的值；
（2）若曲線y=f（x）過點P（1，0），且在點P處的切線斜率為2，證明：f（x）≤2x-2．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意可得f′（1）=0，f（1）=2，解方程即可得到a，b；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由題意可得f（1）=0，f′（1）=2，解方程可得a，b，再設(shè)g（x）=2x-2-f（x）=x²+x-2-3lnx，（x＞0），求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，可得極小值、最小值，即可得證．

解答 （1）解：函數(shù)f（x）=x+ax²+blnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=1+2ax+$\frac{x}$，
由函數(shù)f（x）在x=1處取得極小值2，
則f′（1）=0，f（1）=2，
即為1+2a+b=0，1+a=2，
解得a=1，b=-3；
（2）證明：若曲線y=f（x）過點P（1，0），
則1+a=0，可得a=-1，
由于在點P處的切線斜率為2，
則1+2a+b=2，
可得b=3，
即有f（x）=x-x²+3lnx，
令g（x）=2x-2-f（x）=x²+x-2-3lnx，（x＞0），
則g′（x）=2x+1-$\frac{3}{x}$=$\frac{（2x+3）（x-1）}{x}$，
當x＞1時，g′（x）＞0，g（x）遞增；當0＜x＜1時，g′（x）＜0，g（x）遞減．
則x=1處g（x）取得極小值，也為最小值，且為0．
則有g(shù)（x）≥0，
即有f（x）≤2x-2．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，同時考查構(gòu)造函數(shù)，運用導(dǎo)數(shù)求極值、最值的方法，屬于中檔題．