Question

如果直線y=kx+1與圓x²+y²+kx+my-4=0交于M、N兩點，且M、N關(guān)于直線x+y=0對稱，則不等式組：

kx-y+1≥0 kx-my≤0 y≥0

表示的平面區(qū)域的面積是（　　）

• A、

  1

  4

• B、

  1

  2

• C、1
• D、2

Answer 1

分析：由M與N關(guān)于x+y=0對稱得到直線y=kx+1與x+y=0垂直，利用兩直線垂直時斜率的乘積為-1，得到k的值；設(shè)出M與N的坐標，然后聯(lián)立y=x+1與圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)韋達定理得到兩橫坐標之和的關(guān)于m的關(guān)系式，再根據(jù)MN的中點在x+y=0上得到兩橫坐標之和等于-1，列出關(guān)于m的方程，求出方程的解得到m的值，把k的值和m的值代入不等式組，在數(shù)軸上畫出相應的平面區(qū)域，求出面積即可．

解答：解：因為M與N關(guān)于x+y=0對稱，
直線y=kx+1與直線x+y=0垂直得到k=1，
所以直線MN的方程為y=x+1；
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
聯(lián)立直線與圓的方程得

y=x+1 x2+y2+x+my-4=0

，
消去y得2x²+（3+m）x+m-3=0則x₁+x₂=-

m+3

2

；
由MN中點在直線x+y=0上，代入得

x1+x2

2

+

y1+y2

2

=0即x₁+x₂+y₁+y₂=0，
又MN的中點在y=x+1上，得y₁=x₁+1，y₂=x₂+1，所以x₁+x₂=-1，
則-

m+3

2

=-1，解得m=-1；
所以把k=1，m=-1代入不等式組得

x-y+1≥0 x+y≤0 y≥0

，
畫出不等式所表示的平面區(qū)域如圖
△AOB為不等式所表示的平面區(qū)域，聯(lián)立

y=-x y=x+1

解得B（-

1

2

，

1

2

），A（-1，0），
所以S_△AOB=

1

2

×|-1|×|-

1

2

|=

1

4

．
故選A

點評：此題考查學生掌握直線與圓的位置關(guān)系，靈活運用韋達定理及中點坐標公式化簡求值，會進行簡單的線性規(guī)劃，是一道中檔題．