已知f(n)=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
，n∈n*，求證：
（1）當(dāng)m＜n（m∈N*）時(shí)，f(n)-f(m)＞
n-m
n
；
（2）當(dāng)n＞1時(shí)，f(2n)＞
n+2
2
；
（3）對(duì)于任意給定的正數(shù)M，總能找到一個(gè)正整數(shù)N0，使得當(dāng)n＞N0時(shí)，有f（n）＞M．
證明：（1）當(dāng)m＜n時(shí)，
f（n）-f（m）=
1
m+1
+
1
m+2
+…+
1
n
≥
1
n
+
1
n
+…+
1
n
=
n-m
n
．
（2）當(dāng)n＞1時(shí)，
f(2n)=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
2n
=1+
1
2
+( 
1
3
+
1
4
 )+…+( 
1
2n-1+1
+
1
2n-1+2
+…+
1
2n
 )＞1+
1
2
+
2
4
+…+
2n-1
2n
=1+
n
2
=
n+2
2
；
（3）∵f(n+1)-f(n)=
1
n+1
＞0，
∴f（n）在N*上單調(diào)遞增．
由（2）可知，當(dāng)n＞1時(shí)，f(2n)＞1+
n
2
＞
n
2
．對(duì)任意給定的正數(shù)M，設(shè)M0是比M大的最小正整數(shù)，
取N0=22 M0，則當(dāng)n＞N0時(shí)，f(n)＞f(N0)=f(22 M0)＞
2 M0
2
=M0＞M．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），且對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x，y，均有f（xy）=f（x）+f（y）恒成立．已知f（2）=1，且當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0．
（1）求f(
1
2
)的值，試判斷y=f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并加以證明；
（2）一個(gè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}，它的前n項(xiàng)和是Sn，若a1=3，且f（Sn）=f（an）+f（an+1）-1（n≥2，n∈N*），求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）在（2）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)M，使2n•a1•a2…an≥M•
2n+3
•(2a1-1)•(2a2-1)…(2an-1)對(duì)于一切正整數(shù)n均成立？若存在，求出M的范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在自然數(shù)集N上定義一個(gè)函數(shù)y=f（x），已知f（1）+f（2）=5．當(dāng)x為奇數(shù)時(shí)，f（x+1）-f（x）=1，當(dāng)x為偶數(shù)時(shí)f（x+1）-f（x）=3．
（1）求證：f（1），f（3），f（5），…，f（2n-1）（n∈N+）成等差數(shù)列．
（2）求f（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2007•嘉定區(qū)一模）已知f(n)=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
3n-1
(n∈N)，則f（n+1）-f（n）=（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f(n)=log2(1+
1n
)(n∈N+)，對(duì)正整數(shù)k，如果f（n）滿足：f（1）+f（2）+f（3）+…+f（k+1）為整數(shù)，則稱k為“好數(shù)”，那么區(qū)間[1，129]內(nèi)所有“好數(shù)”的和S=
240
240
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），且對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x，y，均有f（xy）=f（x）+f（y）恒成立．已知f（2）=1，且當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0．
（1）求f(
12
)的值，試判斷y=f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并加以證明；
（2）一個(gè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}，它的前n項(xiàng)和是Sn，若a1=3，且對(duì)任意的正整數(shù)n，均滿足f（Sn）=f（an）+f（an+1）-1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

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