【題目】某人利用一根原木制作一件手工作品，該作品由一個球體和一個正四棱柱組成，假定原 木為圓柱體（如圖1），底面半徑為，高為，制作要求如下：首先需將原木切割為兩部分（分別稱為第I圓柱和第II圓柱），要求切面與原木的上下底面平行（不考慮損耗） 然后將第I圓柱切割為一個球體，要求體積最大，將第II圓柱切割為一個正四棱柱，要求正四棱柱的上下底面分別為第II圓柱上下底面圓的內(nèi)接正方形.

（1）當(dāng)時，若第I圓柱和第II圓柱的體積相等，求該手王作品的體積；

（2）對于給定的和，求手工作品體積的最大值.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由已知可得第I圓柱和第II圓柱高相等為4，等于圓柱底面直徑，第I圓柱的球體最大直徑為4，再由條件可求出正四棱柱的底面邊長，從而求出體積，即可求解；

（2）設(shè)第I圓柱的高為，則第II圓柱的高為，求出正四棱柱體積為，而球半徑為與較小值，對分類討論，當(dāng)是，球的半徑為，體積定值，只需求最大值即可；當(dāng)，球最大半徑為，求出球的體積與正四棱柱體積和，通過求導(dǎo)，求出最大值，對比兩個范圍的最大值，即可求解.

（1）因?yàn)榈?/span>I圓柱和第II圓柱的體積一樣大，

所以它們的高一樣，可設(shè)為

第I圓柱的球體直徑不超過和

因此第I圓柱內(nèi)的最大球體半徑即為

球體體積

因?yàn)檎睦庵牡酌嬲叫蝺?nèi)接于半徑為的圓

所以正方形的對角線長為，邊長為

正四棱柱體積，

手工作業(yè)的體積為.

（2）設(shè)第I圓柱的高為，則第II圓柱的高為，

①當(dāng)時，第I圓柱內(nèi)的球體直徑應(yīng)不超過和，

故球體的最大半徑應(yīng)為

由（1）可知，此時第II圓柱內(nèi)的正四棱柱底面積為，

故當(dāng)時，最大為，

手工作品的體積最大值為.

②當(dāng)時，第I圓柱內(nèi)的球體直徑應(yīng)不超過和，

故球體的最大直徑應(yīng)為，

球體體積，

正四棱柱體積

所以手工作品的體積為.

.

令

遞減

極小

遞增

，

因?yàn)?/span>，

所以

所以當(dāng)時，

手工作品的體積最大值為

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為（且）.

（I）求直線的極坐標(biāo)方程及曲線的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）已知是直線上的一點(diǎn)，是曲線上的一點(diǎn)， ，，若的最大值為2，求的值.

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【題目】對于數(shù)列，若滿足，則稱數(shù)列為“0-1數(shù)列”．定義變換，將“0-1數(shù)列”中原有的每個1都變成0，1，原有的每個0都變成1，0．例如:1,0,1，則設(shè)是“0-1數(shù)列”，令

3，…．

（Ⅰ） 若數(shù)列：求數(shù)列；

（Ⅱ） 若數(shù)列共有10項(xiàng)，則數(shù)列中連續(xù)兩項(xiàng)相等的數(shù)對至少有多少對？請說明理由；

（Ⅲ）若為0，1，記數(shù)列中連續(xù)兩項(xiàng)都是0的數(shù)對個數(shù)為，．求關(guān)于的表達(dá)式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某市房管局為了了解該市市民年月至年月期間買二手房情況，首先隨機(jī)抽樣其中名購房者，并對其購房面積（單位：平方米，）進(jìn)行了一次調(diào)查統(tǒng)計，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，接著調(diào)查了該市年月至年月期間當(dāng)月在售二手房均價（單位：萬元/平方米），制成了如圖所示的散點(diǎn)圖（圖中月份代碼分別對應(yīng)年月至年月）.

（1）試估計該市市民的購房面積的中位數(shù)；

（2）現(xiàn)采用分層抽樣的方法從購房面積位于的位市民中隨機(jī)抽取人，再從這人中隨機(jī)抽取人，求這人的購房面積恰好有一人在的概率；

（3）根據(jù)散點(diǎn)圖選擇和兩個模型進(jìn)行擬合，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理得到兩個回歸方程，分別為和，并得到一些統(tǒng)計量的值如下表所示：

0.000591

0.000164

0.006050

請利用相關(guān)指數(shù)判斷哪個模型的擬合效果更好，并用擬合效果更好的模型預(yù)測出年月份的二手房購房均價（精確到）

（參考數(shù)據(jù)），，，，，，

（參考公式）

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【題目】2016年1月14日，國防科工局宣布，嫦娥四號任務(wù)已經(jīng)通過了探月工程重大專項(xiàng)領(lǐng)導(dǎo)小組審議通過，正式開始實(shí)施.如圖所示，假設(shè)“嫦娥四號”衛(wèi)星將沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后，在月球附近一點(diǎn)P變軌進(jìn)入以月球球心F為一個焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行.若用和分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長軸長，給出下列式子：①；②；③；④.其中正確式子的序號是( )

A.①③B.①④C.②③D.②④

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【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，判斷在定義域上的單調(diào)性；

（2）若對定義域上的任意的，有恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）證明：，.

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（2）過原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（不是橢圓的頂點(diǎn)），點(diǎn)在橢圓上，且，直線與軸軸分別交于兩點(diǎn).

①設(shè)直線斜率分別為，證明存在常數(shù)使得，并求出的值；

②求面積的最大值.

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【題目】已知圓，圓內(nèi)一點(diǎn)，動圓經(jīng)過點(diǎn)且與圓內(nèi)切.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知平行于軸的動直線交拋物線： 于點(diǎn)，點(diǎn)為的焦點(diǎn).圓心不在軸上的圓與直線， ， 軸都相切，設(shè)的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）若直線與曲線相切于點(diǎn)，過且垂直于的直線為，直線， 分別與軸相交于點(diǎn)， .當(dāng)線段的長度最小時，求的值.

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