Question

已知函數(shù)?(x)=

a

x+1

，a為正常數(shù)．
（1）若f（x）=lnx+φ（x），且a=

9

2

，求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）在（1）中當a=0時，函數(shù)y=f（x）的圖象上任意不同的兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點為C（x₀，y₀），記直線AB的斜率為k，試證明：k＞f'（x₀）．
（3）若g（x）=|lnx|+φ（x），且對任意的x₁，x₂∈（0，2]，x₁≠x₂，都有

g(x2)-g(x1)

x2-x1

＜-1，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意先把f（x）的解析式具體，然后求其導函數(shù)，令導函數(shù)大于0，解出的即為函數(shù)的增區(qū)間；
（2）對于當a=0時，先把f（x）=lnx具體出來，然后求導函數(shù)，得到f′（x₀），在利用斜率公式求出過這兩點的斜率公式，利用構造函數(shù)并利用構造函數(shù)的單調(diào)性比較大��；
（3）因為g（x）=|lnx|+φ（x），且對任意的x₁，x₂∈（0，2]，x₁≠x₂，都有

g(x2)-g(x1)

x2-x1

＜-1，先寫出g（x）的解析式，利用該函數(shù)的單調(diào)性把問題轉化為恒成立問題進行求解．

解答：解：（1）f′(x)=

1

x

-

a

(x+1)2

=

x2+(2-a)x+1

x(x+1)2

∵a=

9

2

，令f'（x）＞0得x＞2或0＜x＜

1

2

∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為(0，

1

2

)，(2，+∞)；

（2）證明：當a=0時f（x）=lnx
∴f′(x)=

1

x

∴f′(x0)=

1

x0

=

2

x1+x2

又k=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=

lnx2-lnx1

x2-x1

=

ln x2 x1

x2-x1

不妨設x₂＞x₁，要比較k與f'（x₀）的大小，
即比較

ln x2 x1

x2-x1

與

2

x1+x2

的大小，
又∵x₂＞x₁，
∴即比較ln

x2

x1

與

2(x2-x1)

x1+x2

=

2( x2 x1 -1)

x2 x1 +1

的大小．
令h(x)=lnx-

2(x-1)

x+1

(x≥1)，
則h′(x)=

1

x

-

4

(x+1)2

=

(x-1)2

x(x+1)2

≥0
∴h（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)．
又

x2

x1

＞1，
∴h(

x2

x1

)＞h(1)=0，
∴ln

x2

x1

＞

2( x2 x1 -1)

x2 x1 +1

，
即k＞f'（x₀）；

（3）∵

g(x2)-g(x1)

x2-x1

＜-1，
∴

g(x2)+x2-[g(x1)+x1]

x2-x1

＜0
由題意得F（x）=g（x）+x在區(qū)間（0，2]上是減函數(shù)．
1°當1≤x≤2，F(xiàn)(x)=lnx+

a

x+1

+x，
∴F′(x)=

1

x

-

a

(x+1)2

+1
由F′(x)≤0?a≥

(x+1)2

x

+(x+1)2=x2+3x+

1

x

+3在x∈[1，2]恒成立．
設m（x）=x2+3x+

1

x

+3，x∈[1，2]，則m′(x)=2x-

1

x2

+3＞0
∴m（x）在[1，2]上為增函數(shù)，
∴a≥m(2)=

27

2

2°當0＜x＜1，F(xiàn)(x)=-lnx+

a

x+1

+x，
∴F′(x)=-

1

x

-

a

(x+1)2

+1
由F′(x)≤0?a≥-

(x+1)2

x

+(x+1)2=x2+x-

1

x

-1在x∈（0，1）恒成立
設t（x）=x2+x-

1

x

-1，x∈（0，1）為增函數(shù)
∴a≥t（1）=0
綜上：a的取值范圍為a≥

27

2

．

點評：此題考查了利用導函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)地增區(qū)間，還考查了構造函數(shù)并利用構造的函數(shù)的單調(diào)性把問題轉化為恒成立的問題，重點考查了學生的轉化的思想及構造的函數(shù)與思想．