Question

已知α∈(-

π

2

，

π

2

)，β∈(0，π)，則方程組

3 cos(-α)=- 2 cos(π+β) sin(3π-α)= 2 cos( π 2 -β)

的解是：

α=

π

4

，β=

π

6

．

Answer 1

分析：分別利用誘導(dǎo)公式及余弦函數(shù)的奇偶性化簡(jiǎn)方程組，表示出cosα，根據(jù)同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系sin²α+cos²α=1，將sinα和cosα代入，并利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡(jiǎn)，得到關(guān)于sinβ的方程，求出方程的解得到sinβ的值，進(jìn)而得到sinα的值，由α和β的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值，即可求出α和β的度數(shù)．

解答：解：把方程組化簡(jiǎn)得：

3 cosα= 2 cosβ① sinα= 2 sinβ②

，
由①得：cosα=

2 cosβ

3

③，
將②和③代入sin²α+cos²α=1得：（

2

sinβ）²+（

2 cosβ

3

）²=1，
整理得：2sin²β+

2cos2β

3

=1，即2sin²β+

2

3

（1-sin²β）=1，
解得：sinβ=

1

2

或sinβ=-

1

2

（舍去），
∴sinα=

2

2

，
又α∈(-

π

2

，

π

2

)，β∈(0，π)，
∴α=

π

4

，β=

π

6

或α=

π

4

，β=

5π

6

（不合題意，舍去）．
則α=

π

4

，β=

π

6

．
故答案為：α=

π

4

，β=

π

6

點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角函數(shù)的恒等變換，涉及的知識(shí)有：誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，余弦函數(shù)的奇偶性，以及特殊角的三角函數(shù)值，學(xué)生做題時(shí)注意角度的范圍．