Question

已知函數(shù)f（x）=e^-x+ax，
（Ⅰ）已知x=-1是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）若a=1，求函數(shù)f（x）的極值；
（ III）求證：函數(shù)f（x）的圖象不落在直線y=（a-1）x的下方．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因?yàn)閤=-1是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，直接由f^′（1）=0求a的值；
（Ⅱ）代入1后，求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)等于0求x的值，由求得的x值把定義域分段后分析導(dǎo)函數(shù)在各段內(nèi)的符號(hào)，從而找出極值點(diǎn)并求出極值；
（Ⅲ）構(gòu)造輔助函數(shù)g（x）=f（x）-（a-1）x，化簡后利用導(dǎo)函數(shù)求其極小值，從而得到函數(shù)g（x）在定義域內(nèi)恒大于0，說明函數(shù)f（x）的圖象不落在直線y=（a-1）x的下方．

解答：解：（I）由f（x）=e^-x+ax，得：f'（x）=-e^-x+a，
因?yàn)閤=-1是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，所以f'（-1）=-e+a=0，解得：a=e，
經(jīng)檢驗(yàn) a=e符合條件．
（II） 令f'（x）=-e^-x+1=0，得：x=0，
列表如下，

當(dāng)x=0時(shí)，f（x）極小值為1．
（III）令g（x）=f（x）-（a-1）x=e^-x+x，
令g'（x）=-e^-x+1=0，得x=0，
由（Ⅱ）知，函數(shù)g（x）在（-∝，0）上為減函數(shù)，在（0，+∝）上為增函數(shù)，
所以，函數(shù)g（x）在（-∝，+∞）上有最小值g（0）=1．
所以g（x）≥g（0）=1＞0，即f（x）＞（a-1）x．
所以，函數(shù)f（x）的圖象不落在直線y=（a-1）x的下方．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)在某點(diǎn)處取得極值的條件，這里需要注意的是，極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0，但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，考查了利用構(gòu)造函數(shù)法判斷兩函數(shù)圖象的高低問題，構(gòu)造函數(shù)是解決此類問題經(jīng)常用到的方法，此題是中檔題．