Question

已知曲線f（x）=

ax

x2+2

在x=1處的切線斜率為

1

9

，且函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，m+1）上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

-

2

≤m≤

2

-1

．

Answer 1

分析：求導(dǎo)函數(shù)，利用曲線在x=1處的切線斜率為

1

9

，求出a的值，進(jìn)而可得函數(shù)的遞增區(qū)間，結(jié)合函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，m+1）上為增函數(shù)，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=

-ax2+2

(x2+2)2

∵曲線f（x）=

ax

x2+2

在x=1處的切線斜率為

1

9

，
∴

-a+2

(12+2)2

=

1

9

，∴a=1
∴f′（x）=

-x2+2

(x2+2)2

由f′（x）＞0可得(-

2

，

2

)
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，m+1）上為增函數(shù)，
∴

m≥- 2 m+1≤ 2

∴-

2

≤m≤

2

-1
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是-

2

≤m≤

2

-1
故答案為：-

2

≤m≤

2

-1

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．