Question

13．已知sin（$\frac{π}{4}$+x）=$\frac{12}{13}$，0＜x＜$\frac{π}{4}$，求$\frac{cos2x}{cos（\frac{π}{4}-x）}$的值為$\frac{10}{13}$．

Answer 1

分析 由已知結(jié)合誘導(dǎo)公式求得cos（$\frac{π}{4}-x$），再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式得2sin（$\frac{π}{4}-x$），把cos2x=sin（$\frac{π}{2}-2x$）展開倍角公式，則答案可求．

解答 解：∵sin（$\frac{π}{4}$+x）=$\frac{12}{13}$，
∴cos（$\frac{π}{4}-x$）=sin（$\frac{π}{4}$+x）=$\frac{12}{13}$，
∵0＜x＜$\frac{π}{4}$，
∴0$＜\frac{π}{4}-x＜\frac{π}{4}$，則sin（$\frac{π}{4}-x$）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（\frac{π}{4}-x）}=\sqrt{1-（\frac{12}{13}）^{2}}=\frac{5}{13}$．
∴cos2x=sin（$\frac{π}{2}-2x$）=sin2（$\frac{π}{4}-x$）=2sin（$\frac{π}{4}-x$）cos（$\frac{π}{4}-x$）
=2×$\frac{5}{13}×\frac{12}{13}$=$\frac{120}{169}$．
則$\frac{cos2x}{cos（\frac{π}{4}-x）}$=$\frac{\frac{120}{169}}{\frac{12}{13}}=\frac{10}{13}$．
故答案為：$\frac{10}{13}$．

點評 本題考查三角函數(shù)的化簡求值，考查了誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，是基礎(chǔ)題．