【題目】已知函數(shù)f(x)=(x﹣2)ex+a(x﹣1)2 .
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)若f(x)有兩個零點,求a的取值范圍.
【答案】
(1)
解:由f(x)=(x﹣2)ex+a(x﹣1)2,
可得f′(x)=(x﹣1)ex+2a(x﹣1)=(x﹣1)(ex+2a),
當a≥0時,由f′(x)>0,可得x>1;由f′(x)<0,可得x<1,
即有f(x)在(﹣∞,1)遞減;在(1,+∞)遞增;
當a<0時,若a=﹣ ,則f′(x)≥0恒成立,即有f(x)在R上遞增;
若a<﹣ 時,由f′(x)>0,可得x<1或x>ln(﹣2a);
由f′(x)<0,可得1<x<ln(﹣2a).
即有f(x)在(﹣∞,1),(ln(﹣2a),+∞)遞增;
在(1,ln(﹣2a))遞減;
若﹣ <a<0,由f′(x)<0,可得x<1或x>ln(﹣2a);
由f′(x)>0,可得1<x<ln(﹣2a).
即有f(x)在(﹣∞,1),(ln(﹣2a),+∞)遞減;
在(1,ln(﹣2a))遞增;
(2)
解:由(Ⅰ)可得若a≥0時,f(x)在(﹣∞,1)遞減;在(1,+∞)遞增,
且f(1)=﹣e<0,x→+∞,f(x)→+∞;x→﹣∞,f(x)→+∞.f(x)有兩個零點;
若a<﹣ 時,f(x)在(﹣∞,1),(ln(﹣2a),+∞)遞增,
在(1,ln(﹣2a))遞減,f(1)=﹣e<0,f(x)只有一個零點;
若a=﹣ ,f(x)在R上遞增,f(x)只有一個零點;
若﹣ <a<0,f(x)在(﹣∞,1),(ln(﹣2a),+∞)遞減;
在(1,ln(﹣2a))遞增;且f(1)=﹣e<0,x→+∞,f(x)→+∞;
x→﹣∞,f(x)→﹣∞.f(x)在(1,+∞)只有一個零點,
f(x)若恰有兩個零點,只要使f(ln(﹣2a))=0,
即(ln(﹣2a)﹣2)(﹣2a)+a[ln(﹣2a)﹣1}2=0,
即有4﹣2ln(﹣2a)+[ln(﹣2a)﹣1}2=0,
又﹣ <a<0,可得ln(﹣2a)<1,4﹣2ln(﹣2a)>0,[ln(﹣2a)﹣1}2>0,則不可能為0,
綜上可得,f(x)有兩個零點時,a的取值范圍為[0,+∞)
【解析】(Ⅰ)求出f(x)的導(dǎo)數(shù),討論當a≥0時,a<﹣ 時,a=﹣ 時,﹣ <a<0,由導(dǎo)數(shù)大于0,可得增區(qū)間;由導(dǎo)數(shù)小于0,可得減區(qū)間;(2)由(Ⅰ)的單調(diào)區(qū)間,對a討論,結(jié)合單調(diào)性和函數(shù)值的變化特點,即可得到所求范圍.;本題考查導(dǎo)數(shù)的運用:求單調(diào)區(qū)間,考查函數(shù)零點的判斷,注意運用分類討論的思想方法和函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想,考查化簡整理的運算能力,屬于難題.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識,掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系xOy中,以O(shè)為原點,以x軸正半軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為ρ2﹣4ρsinθ+3=0,直線l的參數(shù)方程為 ,(t為參數(shù)).
(1)寫出曲線C和直線l的直角坐標方程;
(2)若點A,B是曲線C上的兩動點,點P是直線l上一動點,求∠APB的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知正三棱錐P﹣ABC的側(cè)面是直角三角形,PA=6,頂點P在平面ABC內(nèi)的正投影為點D,D在平面PAB內(nèi)的正投影為點E,連接PE并延長交AB于點G.
(1)證明:G是AB的中點;
(2)在圖中作出點E在平面PAC內(nèi)的正投影F(說明作法及理由),并求四面體PDEF的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=4sinxcos(x+)+1.
(1)求f()的值;
(2)求f(x)的最小正周期;
(3)求f(x)在區(qū)間[0,]上的最大值和最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】[選修4-5:不等式選講]
已知函數(shù)f(x)=|x+1|﹣|2x﹣3|.
(1)在圖中畫出y=f(x)的圖象;
(2)求不等式|f(x)|>1的解集.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】等差數(shù)列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.
(1)求{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn=[an],求數(shù)列{bn}的前10項和,其中[x]表示不超過x的最大整數(shù),如[0.9]=0,[2.6]=2.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知O為坐標原點,F(xiàn)是橢圓C: =1(a>b>0)的左焦點,A,B分別為C的左,右頂點.P為C上一點,且PF⊥x軸,過點A的直線l與線段PF交于點M,與y軸交于點E.若直線BM經(jīng)過OE的中點,則C的離心率為( 。
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) 為 的零點, 為 圖像的對稱軸,且 在 單調(diào),則 的最大值為( 。
A.11
B.9
C.7
D.5
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