Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，側(cè)面PAD是正三角形，且側(cè)面PAD⊥底面ABCD，E為側(cè)棱PD的中點(diǎn)．
（1）求證：PB∥平面EAC；
（2）若AD=AB，試求二面角A-PC-D的正切值．

Answer 1

分析：（1）以AD的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸，OP為z軸，設(shè)PA=AD=PD=a，AB=b，連接BD交AC于點(diǎn)F，求出

EF

，

PB

，證明它們共線即可；
（2）設(shè)PA=AD=PD=AB=a，分別求出平面PAC的一個(gè)法向量與平面PCD的一個(gè)法向量，先求出兩個(gè)法向量的夾角，從而求出二面角的正切值．

解答：解：（1）證明：如圖建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，其中O為AD的中點(diǎn)．設(shè)PA=AD=PD=a，AB=b，
則P（0，0，

3

2

a），D（-

a

2

，0，0），E（-

a

4

，0，

3

4

a），B（

a

2

，b，0），
連接BD交AC于點(diǎn)F，則F（0，

b

2

，0）．

EF

=（

a

4

，

b

2

，-

3

4

a），

PB

=（

a

2

，b，-

3

2

a）=2

EF

，
∴

EF

∥

PB

，又EF?平面AEC，且PB?平面AEC，
∴PB∥平面EAC．
（2）設(shè)PA=AD=PD=AB=a，
則P（0，0，

3

2

a），A（

a

2

，0，0），C（-

a

2

，a，0），D（-

a

2

，0，0）．

AC

=（-a，a，0），

PC

=（-

a

2

，a，-

3

2

a），

PD

=（-

a

2

，0，-

3

2

a），
設(shè)n₁=（x₁，y₁，z₁）是平面PAC的法向量，
則

n1• AC =0 n1• PC =0

即

-ax1+ay1=0 - a 2 x1 +ay1- 3 2 az1=0

令z₁=1，解得x₁=y₁=

3

，∴n₁=（

3

，

3

，1），
設(shè)n₂=（x₂，y₂，z₂）是平面PCD的法向量，
則

n1• AC =0 n1• PD =0

即

- a 2 x2+ay2- 3 2 az2 =0 -ax2- 3 2 az2=0

令z₂=1，解得x₂=-

3

，y₂=0，∴n₂=（-

3

，0，1），
cos＜n₁，n₂＞=

n1•n2

|n1|•|n2|

=-

1

7

，
設(shè)所求二面角的平面角為α，
則cosα=

1

7

，sinα=

6

7

，tanα=

6

．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線平行與平面的判定，以及利用空間向量度量二面角，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．