Question

9．如圖，某廣場中間有一塊扇形綠地OAB，其中O為扇形所在圓的圓心，半徑為R，∠AOB=60°，廣場管理部門欲在綠地上修建觀光小路：在弧AB上選一點(diǎn)C，過C修建與OB平行的小路CD，與OA平行的小路CE，設(shè)∠COA=θ，
（1）當(dāng)θ=45°時，求CD；
（2）θ為何值時，才能使得修建的道路CD與CE的總長最大，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）在△COD中，由已知及正弦定理可求CD．
（2）由已知及正弦定理可得$CD=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}Rsinθ$，$OD=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}Rsin（{60°-θ}）$，利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可得$CD+CE=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}Rsin（{θ+60°}）$，結(jié)合范圍θ+60°∈（60°，120°），利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果．

解答 答：（1）在△COD中，∠COD=45°，∠ODC=120°，OC=R，
由正弦定理得：$\frac{CD}{sin∠COD}=\frac{OC}{sin∠ODC}$，
∴$CD=\frac{{\sqrt{6}}}{3}R$．
（2）在△COD中，由正弦定理得：$CD=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}Rsinθ$，$OD=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}Rsin（{60°-θ}）$，
∴$CD+CE=CD+OD=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}Rsinθ+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}Rsin（{60°-θ}）=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}R（{\frac{1}{2}sinθ+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosθ}）$，
即：$CD+CE=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}Rsin（{θ+60°}）$，
∵θ∈（0°，60°），
∴θ+60°∈（60°，120°），
所以，當(dāng)θ=30°時，CD與CE的總長最大，最大值為$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}R$．

點(diǎn)評 本題給出圓心角為60度的扇形場地，求修建道路CD與CE的總長最大值，著重考查了利用正弦定理解三角形、正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．