Question

17．已知向量$\overrightarrow a=（sinx，-1）$，$\overrightarrow b=（\sqrt{3}cosx，-\frac{1}{2}）$，函數(shù)$f（x）=（\overrightarrow a+\overrightarrow b）•\overrightarrow a-2$．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）已知a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊，其中A為銳角，$a=\sqrt{3}$，c=1，且f（A）=1，求△ABC的面積S．

Answer 1

分析 （1）利用向量的數(shù)量積的運算，以及兩角和二倍角公式化簡函數(shù)的表達(dá)式，通過正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間求解即可．
（2）利用（1）的結(jié)果，推出A的大小，然后利用余弦定理求出b，利用三角形的面積公式求解即可．

解答 解：（1）$f（x）=（\overrightarrow a+\overrightarrow b）•\overrightarrow a-2$=$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow-2$=${sin^2}x+1+\sqrt{3}sinxcosx+\frac{1}{2}-2$
=$\frac{1-cos2x}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1}{2}$
=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x$=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$（k∈z），
函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$[kπ-\frac{π}{6}，kπ+\frac{π}{3}]$（k∈z）．
（2）$f（A）=sin（2A-\frac{π}{6}）=1$，
因為$A∈[0，\frac{π}{2}]$，$2A-\frac{π}{6}∈（-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}）$，所以.$2A-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，$A=\frac{π}{3}$，
又a²=b²+c²-2bccosA，則b=2，
從而$S=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的運算，三角函數(shù)的化簡求值，余弦定理的應(yīng)用，考查計算能力．