Question

如下圖是由一連串直角三角形演化而成的,其中OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A₇A₈=…=1,記OA₁、OA₂、OA₃、…、OA₈、…、OA_n的長度所成的數(shù)列為{l_n}(n∈N),

(1)寫出數(shù)列的前4項(xiàng);

(2)求{l_n}的通項(xiàng)公式.

Answer 1

分析:(1)利用勾股定理可逐項(xiàng)求出前4項(xiàng);

(2)觀察歸納規(guī)律得通項(xiàng)公式.

解:(1)∵l₁=OA₁=1,由勾股定理得

l₂===.

l₃===.

l₄===2.

(2)觀察{l_n}的前n項(xiàng),可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列的項(xiàng)恰好是序號(hào)n的算術(shù)平方根.

∴通項(xiàng)公式a_n=.

綠色通道

本題目顯然有l(wèi)_n+1=,∴l(xiāng)_n+1²=l_n²+1,{l_n²}為等差數(shù)列,首項(xiàng)為1,

∴l(xiāng)_n²=1+(n-1)=n.∴l(xiāng)_n=.

數(shù)列問題可通過求得前n項(xiàng)、觀察得到通項(xiàng)公式.