Question

（2012•湛江一模）已知二次函數(shù)f（x）滿足f(cosx)=sin2x-2a[sin2

x

2

-cos(x+

π

3

)-

3

2

sinx]（a是常數(shù)，a∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上的最大值為2，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)和與差的三角函數(shù)公式和二倍角的三角函數(shù)公式，化簡整理得f（cosx）=-cos²x+2acosx+1-a．再換元令t=cosx，得f（t）=-t²+2at+1-a（-1≤t≤1），由此即可得到函數(shù)f（x）的解析式；
（2）由（1）求出的f（x）的解析式，得f（x）的圖象是開口向下的拋物線，關(guān)于直線x=a對稱．再分a＜0、a＞1和0≤a≤1三種情況討論函數(shù)的單調(diào)性，由此解關(guān)于a的方程，即可得到實數(shù)a的值．

解答：解：（1）∵f(cosx)=1-cos2x-a[1-cosx-2(cosxcos

π

3

-sinxsin

π

3

)-

3

sinx]…（2分）
=1-cos2x-a(1-cosx-cosx+

3

sinx-

3

sinx)=-cos²x+2acosx+1-a…（4分）
令t=cosx，得f（t）=-t²+2at+1-a（-1≤t≤1）
∴函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=-x²+2ax+1-a，其中（x∈[-1，1]）…（6分）
（2）函數(shù)f（x）的圖象是開口向下的拋物線，關(guān)于直線x=a對稱．…（8分）
①當a＜0時，區(qū)間[0，1]是f（x）的遞減區(qū)間，
此時f（x）_max=f（0）=1-a=2⇒a=-1．…（9分）
②當a＞1時，區(qū)間[0，1]是f（x）的遞增區(qū)間，
此時f（x）_max=f（1）=a=2⇒a=2．…（10分）
③當0≤a≤1時，f(x)max=f(a)=a2-a+1=2⇒a=

1± 5

2

，與0≤a≤1矛盾，不符合題意．…（12分）
綜上所述，實數(shù)a的值為-1或2…（14分）

點評：本題給出以cosx為自變量的函數(shù)，求函數(shù)的表達式并在已知f（x）在[0，1]上最大值為2的情況下求參數(shù)a的值．著重考查了三角恒等變換、函數(shù)解析式的求解的常用方法和二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求法等知識，屬于中檔題．