Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+2lnx．
（1）求f（x）的單調區(qū)間；
（2）若f（x）在（0，1]上的最大值是-2，求a的值；
（3）記g（x）=f（x）+（a-1）lnx+1，當a≤-2時，求證：對任意x₁，x₂∈（0，+∞），總有|g（x₁）-g（x₂）|≥4|x₁-x₂|

Answer 1

解析：（1）f（x）的定義域是（0，+∞）．f′(x)=2ax+

2

x

=

2ax2+2

x

．
當a≥0時，f^′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
當a＜0時，令f^′（x）=0，則2ax²+2=0，所以，x1=

- 1 a

，x2=-

- 1 a

（舍去）．
當x∈(0，

- 1 a

)時，f^′（x）＞0，故f（x）在(0，

- 1 a

)上是增函數(shù)；
當x∈(

- 1 a

，+∞)時，f^′（x）＜0，故f（x）在(

- 1 a

，+∞)上是減函數(shù)．
故當a≥0時，f（x）的增區(qū)間是（0，+∞）；
當a＜0時，f（x）的增區(qū)間是(0，

- 1 a

)，減區(qū)間是(

- 1 a

，+∞)．
（2）①當a≥0時，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，故在（0，1]上的最大值為f（1）=a+2ln1=a=-2，顯然不合題意；
②若

a＜0 - 1 a ≥1

，即-1≤a＜0時，（0，1]⊆(0，

- 1 a

)，則f（x）在（0，1]上是增函數(shù)，故在（0，1]上最大值為f（1）=a=-2，不合題意，舍去；
③若

a＜0 - 1 a ＜1

，即a＜-1時，f（x）在(0，

- 1 a

)上是增函數(shù)，在(

- 1 a

，1)上為減函數(shù)，故在（0，1]上的最大值是f(

- 1 a

)=-1+2ln

- 1 a

=-2，解得：a=-e，符合．
綜合①、②、③得：a=-e．
（3）由g（x）=f（x）+（a-1）lnx+1，則g（x）=（a+1）lnx+ax²+1，
則g′(x)=

a+1

x

+2ax=

2ax2+a+1

x

，當a≤-2時，g^′（x）＜0，故當a≤-2時，g（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)．
不妨設x₂≥x₁＞0，則g（x₂）≤g（x₁），故|g（x₁）-g（x₂）|≥4|x₁-x₂|等價于g（x₁）-g（x₂）≥4（x₂-x₁），
即g（x₁）+4x₁≥g（x₂）+4x₂．
記h（x）=g（x）+4x，下面證明當x₂≥x₁＞0時，h（x₁）≥h（x₂）
由h（x）=g（x）+4x=（a+1）lnx+ax²+4x+1得：
h′(x)=

2ax2+4x+a+1

x

≤

-4x2+4x-1

x

=

-(2x-1)2

x

≤0，
從而h（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，故當x₂≥x₁＞0時，h（x₁）＞h（x₂），
即有：g（x₁）+4x₁≥g（x₂）+4x₂，
故當a≤-2時，對任意x₁，x₂∈（0，+∞），總有|g（x₁）-g（x₂）|≥4|x₁-x₂|．