【題目】已知函數(shù),其中a,.
(I)若直線是曲線的切線,求ab的最大值;
(Ⅱ)設(shè),若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根,求a的最大整數(shù)值.(參考數(shù)據(jù):)
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】
(I)設(shè)出直線與相切的切點(diǎn)坐標(biāo)為,然后對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),這樣可以得到,切點(diǎn)又在直線上,這樣可以得到
,則有,設(shè)函數(shù)
,求導(dǎo),判斷函數(shù)的單調(diào)性,最后求出函數(shù)的最大值,也就求出ab的最大值;
(Ⅱ)方法1:原方程化為,令進(jìn)行換元,方程等價(jià)于,構(gòu)造函數(shù),原問(wèn)題等價(jià)于函數(shù)需有兩個(gè)不同的零點(diǎn).對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性,可以知道在上存在唯一實(shí)根,這樣可以判斷出函數(shù)的單調(diào)性,然后根據(jù)的正負(fù)性進(jìn)行分類討論,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性最后求出a的最大整數(shù)值.
方法2:原方程即為,設(shè),
則原方程等價(jià)于關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的解,
即關(guān)于的方程)有兩個(gè)不同的解.構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)得,得到函數(shù)的單調(diào)性,最后求出a的最大整數(shù)值.,
解:(I)設(shè)直線與相切于點(diǎn).
因?yàn)?/span>,所以
所以.
又因?yàn)?/span>P在切線上,所以
所以,,
因此.
設(shè),
則由
解得.
所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
可知的最大值為,
所以的最大值為.
(Ⅱ)方法1:原方程即為,
設(shè),則上述方程等價(jià)于.
設(shè),則函數(shù)需有兩個(gè)不同的零點(diǎn).
因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞減,
且在上存在唯一實(shí)根,
即,即.
所以當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),.
因此在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
若,則.
,
不合題意,舍去.
若,則.
當(dāng)時(shí),則,
取,則;
當(dāng)時(shí),則,
取,則.
由此,且,.
要使函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),
則只需,
所以只需.
因?yàn)?/span>是關(guān)于的增函數(shù).
且,
所以存在使得,
所以當(dāng)時(shí),.
因?yàn)?/span>是關(guān)于的減函數(shù),
所以
又因?yàn)?/span>,
所以的最大整數(shù)值為.
方法2:原方程即為,設(shè),
則原方程等價(jià)于關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的解,
即關(guān)于的方程)有兩個(gè)不同的解.
設(shè),則.
設(shè),
由知,所以
在區(qū)間上單調(diào)遞減,又,
所以存在使得.
當(dāng)時(shí),,;當(dāng)時(shí),,.
所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
所照.
要使得關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的解,則.
當(dāng)時(shí),設(shè),
則,可知在上單調(diào)遞增,
在單調(diào)遞減.
又,,,
有兩個(gè)不同的零點(diǎn),符合題意.
所以的最大整數(shù)值為.
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