Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面是ABCD是梯形，AD∥BC，AD＞BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，PA=AB，點(diǎn)E是PB的中點(diǎn)
（1）證明：PC⊥AE；
（2）若AB=1，AD=

3

，且點(diǎn)A到腰CD的距離為1，求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知得平面PAB⊥底面ABCD于AB，BC⊥AB，BC⊥平面PAB，由此能證明AE⊥PC．
（2）作AF⊥CD于F，CG⊥AD于G，依題意AF=1，AD=

3

，DF=

2

，DG=

2

，BC=AG=AD-DG=

3

-

2

，由此能求出四棱錐P-ABCD的體積．

解答： （1）證明：∵PA⊥底面ABCD，
∴平面PAB⊥底面ABCD于AB，
AD∥BC，∠BAD=90°，∴BC⊥AB，
∴BC⊥平面PAB，
∴平面PBC⊥平面PAB于PB，
PA=AB，E是PB的中點(diǎn)，∴AE⊥PB，
∴AE⊥平面PBC，∴AE⊥PC．
（2）角：作AF⊥CD于F，CG⊥AD于G，
依題意AF=1，AD=

3

，
∴DF=

2

，cot∠ADC=

DF

AF

=

2

，CG=AB=1，
∴DG=CGcot∠ADC=

2

，
BC=AG=AD-DG=

3

-

2

，
∴底面ABCD的面積S=

1

2

（AD+BC）AB=

1

2

（2

3

-

2

），PA=1，
∴四棱錐P-ABCD的體積V=

1

3

S•PA=

2 3 - 2

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查四棱錐的體積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．