如圖,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD為等腰梯形,ABCDAB4,BCCD2,AA12,E,E1,F分別是棱ADAA1AB的中點.

(1)證明:直線EE1平面FCC1

(2)求二面角B-FC1-C的余弦值.

 

1)見解析(2

【解析】(1)證明 

法一 取A1B1的中點F1,連接FF1,C1F1,由于FF1BB1CC1,

所以F1平面FCC1,

 

因此平面FCC1,即為平面C1CFF1.,連接A1DF1C,由于 CD,

所以四邊形A1DCF1為平行四邊形,因此A1DF1C.EE1A1D,得EE1F1C.

EE1?平面FCC1,F1C?平面FCC1,故EE1平面FCC1.

法二 因為FAB的中點,CD2,AB4,ABCD,所以CD AF.

因此四邊形AFCD為平行四邊形,所以ADFC.

CC1DD1FCCC1C,FC?平面FCC1CC1?平面FCC1,

所以平面ADD1A1平面FCC1.EE1?平面ADD1A1,所以EE1平面FCC1.

(2)解 法一 取FC的中點H,由于FCBCFB,所以BHFC.BHCC1CC1FCC.所以BH平面FCC1.HHGC1FG,連接BG.由于HGC1FBH平面FCC1,所以C1F平面BHG.因此BGC1F,所以BGH為所求二面角的平面角.在RtBHG中,BH,

FH1,且FCC1為等腰直角三角形,所以HG,BG,因此cosBGH=,

即所求二面角的余弦值為.

法二 過DDRCDABR,以D為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系,則F(,1,0),B(3,0)C(0,2,0),C1(0,2,2)

所以(0,2,0),(,-1,2),(,3,0)

FBCBCDDF,所以DBFC.CC1平面ABCD,

所以為平面FCC1的一個法向量.

設(shè)平面BFC1的一個法向量為n(xy,z)

則由x1,得

因此n,所以cos,n〉==.

故所求二面角的余弦值為.

 

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已知函數(shù)f(x).

(1)f(x)>k的解集為{x|x<3,或x>2},求k的值;

(2)對任意x>0,f(x)≤t恒成立,求t的取值范圍.

 

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已知橢圓C1(ab0)的離心率為,其左、右焦點分別是F1、F2,過點F1的直線l交橢圓CE、G兩點,且EGF2的周長為4.

(1)求橢圓C的方程;

(2)若過點M(2,0)的直線與橢圓C相交于兩點AB,設(shè)P為橢圓上一點,且滿足t (O為坐標原點),當||時,求實數(shù)t的取值范圍.

 

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過點A(1,-1)B(1,1),且圓心在直線xy20上的圓的方程是 ( )

A(x3)2(y1)24 B(x3)2(y1)24

C(x1)2(y1)24 D(x1)2(y1)24

 

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如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,線段B1D1上有兩個動點E,FEF,則下列結(jié)論中錯誤的是(  )

 

AACBE

BEF平面ABCD

C.三棱錐A-BEF的體積為定值

D.異面直線AEBF所成的角為定值

 

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如圖,在正方形ABCD中,E、F分別是BC、CD的中點,ACEFG.現(xiàn)在沿AE、EF、FA把這個正方形折成一個四面體,使BC、D三點重合,重合后的點記為P,則在四面體PAEF中必有(  )

 

AAP⊥△PEF所在平面

BAG⊥△PEF所在平面

CEP⊥△AEF所在平面

DPG⊥△AEF所在平面

 

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a5時,數(shù)列{xn}的前3項依次為5,3,1;

對數(shù)列{xn}都存在正整數(shù)k,當nk時總有xnxk;

n≥1時,xn1

對某個正整數(shù)k,若xk1xk,則xk[]

其中的真命題有________(寫出所有真命題的編號)

 

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A B.

C± D.-

 

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某鎮(zhèn)政府為了更好地服務(wù)于農(nóng)民,派調(diào)查組到某村考察.據(jù)了解,該村有100戶農(nóng)民,且都從事蔬菜種植,平均每戶的年收入為3萬元.為了調(diào)整產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu),該鎮(zhèn)政府決定動員部分農(nóng)民從事蔬菜加工.據(jù)估計,若能動員x(x0)戶農(nóng)民從事蔬菜加工,則剩下的繼續(xù)從事蔬菜種植的農(nóng)民平均每戶的年收入有望提高2x%,而從事蔬菜加工的農(nóng)民平均每戶的年收入將為3 (a0)萬元.

(1)在動員x戶農(nóng)民從事蔬菜加工后,要使從事蔬菜種植的農(nóng)民的總年收入不低于動員前從事蔬菜種植的農(nóng)民的總年收入,求x的取值范圍;

(2)(1)的條件下,要使這100戶農(nóng)民中從事蔬菜加工的農(nóng)民的總年收入始終不高于從事蔬菜種植的農(nóng)民的總年收入,求a的最大值.

 

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