Question

如圖，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=AP=2，D是AP的中點，E，F(xiàn)，G分別為PC、PD、CB的中點，將△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD．

（1）求證：平面PCD⊥平面PAD；
（2）求二面角G-EF-D的大��；
（3）求三棱椎D-PAB的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥CD，根據(jù)CD⊥AD，可得CD⊥平面PAD，利用面面垂直的判定，可得平面PCD⊥平面PAD；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面EFG的法向量=（1，0，1），平面PCD的一個法向量=（1，0，0），利用向量的夾角公式，可得二面角G-EF-D的平面角；
（3）利用等體積轉(zhuǎn)化，可求三棱椎D-PAB的體積．
解答：（1）證明：∵PD⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PD⊥CD…（1分）
∵CD⊥AD，PD∩AD=D
∴CD⊥平面PAD…（2分）
∵CD?平面PCD
∴平面PCD⊥平面PAD…（3分）
（2）解：如圖以D為原點，以為方向向量建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則G（1，2，0），E（0，1，1），F(xiàn)（0，0，1）=（0，-1，0），=（1，1，-1）…（5分）
設(shè)平面EFG的法向量為=（x，y，z）
∴，∴，∴．
取=（1，0，1）…（6分）
平面PCD的一個法向量，=（2，0，0）…（7分）
∴cos…（8分）
結(jié)合圖知二面角G-EF-D的平面角為45°…（9分）
（3）解：•PD=…（12分）
點評：本題考查面面垂直，考查面面角，考查三棱錐體積的計算，解題的關(guān)鍵是掌握面面垂直的判定定理，正確運用空間向量解決面面角問題，屬于中檔題．