Question

已知雙曲線C：

x2

2

-y2=1．
（1）求雙曲線C的漸近線方程；
（2）已知點M的坐標為（0，1）．設P是雙曲線C上的點，Q是點P關于原點的對稱點．記λ=

MP

•

MQ

．求λ的取值范圍；
（3）已知點D，E，M的坐標分別為（-2，-1），（2，-1），（0，1），P為雙曲線C上在第一象限內的點．記l為經(jīng)過原點與點P的直線，s為△DEM截直線l所得線段的長．試將s表示為直線l的斜率k的函數(shù)．

Answer 1

（1）在雙曲線C：

x2

2

-y2=1，把1換成0，
所求漸近線方程為y-

2

2

x=0， y+

2

2

x=0
（2）設P的坐標為（x₀，y₀），則Q的坐標為（-x₀，-y₀），
λ=

MP

•

MQ

=(x0，y0-1)•(-x0，-yo-1)=-

x

20

-

y

20

+1=-

3

2

x

20

+2.
∵|x0|≥

2

∴λ的取值范圍是（-∞，-1]．
（3）若P為雙曲線C上第一象限內的點，
則直線l的斜率k∈(0，

2

2

).
由計算可得，當k∈(0，

1

2

]時，s(k)=

2

1-k2

1+k2

；
當k∈(

1

2

，

2

2

)時，s(k)=

2k+1

k+k2

1+k2

.
∴s表示為直線l的斜率k的函數(shù)是s(k)=

2 1-k2 1+k2   k∈(0 1 2 ] 2k+1 k+k2 1+k2  k∈( 1 2 2 2 ).