如圖，底面為直角梯形的四棱錐中，AD∥BC，平面， ，BC＝6．

（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）

試題分析：本題主要以四棱錐為幾何背景考察線面垂直和二面角的求法，可以用傳統(tǒng)幾何法，也可以用空間向量法，突出考察空間想象能力和計算能力，（Ⅰ）由平面，得到，要證明平面，只需證明，在中，,在中，，所以,又,,所以，可證平面；（Ⅱ）用向量法求解，先求出面和面的法向量，再利用夾角公式求夾角.
試題解析：（Ⅰ）方法一：如圖，以A為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系，
則，，，，，
，，，               2分
．，，
又， 面．                       6分
方法二：由平面，∴，在中，,在中，，所以,又,,所以，又∵,面
（Ⅱ）設平面的法向量為，
設平面的法向量為，
則                                         8分

解得．
令，則     10分

二面角的余弦值為．      12分
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900．

（1）求證：PC⊥BC；
（2）求點A到平面PBC的距離.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖,三棱柱ABC－A1B1C1中,側(cè)棱A1A⊥底面ABC,且各棱長均相等.D,E,F分別為棱AB,BC,A1C1的中點.

(Ⅰ)證明EF//平面A1CD;
(Ⅱ)證明平面A1CD⊥平面A1ABB1;
(Ⅲ)求直線BC與平面A1CD所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，三棱錐中，，
 
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）若，是的中點，求與平面所成角的正切值  

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，四棱錐,底面是邊長為的正方形，⊥面，,過點作,連接．
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）若面交側(cè)棱于點，求多面體的體積.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

如圖，在正方形SG1G2G3中，E，F(xiàn)分別是G1G2及G2G3的中點，D是EF的中點，現(xiàn)在沿SE，SF及EF把這個正方形折成一個四面體，使G1，G2，G3三點重合，重合后的點記為G，則在四面體S－EFG中必有(  )
A．SG⊥△EFG所在平面B．SD⊥△EFG所在平面
C．GF⊥△SEF所在平面D．GD⊥△SEF所在平面

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，給出下列4個命題：
①若          ②若
③若         ④若
其中真命題的序號為（     ）
A．①②B．②③C．③④D．①④

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，底面邊長及側(cè)棱長均為2，D是棱AB的中點，
(1)求證;
(2)求異面直線AC1與B1C所成角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

設是兩條直線，是兩個平面，下列能推出的是(          )
A．B．
C．D．

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