Question

6．已知點P（x₀，y₀） 在橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）上，如果經(jīng)過點P的直線與橢圓只有一個公共點時，稱直線為橢圓的切線，此時點P稱為切點，這條切線方程可以表示為：$\frac{{{x_0}x}}{a^2}+\frac{{{y_0}y}}{b^2}=1$．
根據(jù)以上性質，解決以下問題：
已知橢圓L：$\frac{x^2}{4}$+y²=1，若Q（2，2）是橢圓L外一點，經(jīng)過Q點作橢圓L的兩條切線，切點分別為A、B，則直線AB的方程是x+4y-2=0．

Answer 1

分析 設切點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由切線的性質分別寫出切線方程，再將點Q代入，由兩點確定一條直線，即可得到直線AB的方程．

解答 解：解：設切點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則由切線的性質可得，切線方程分別為$\frac{{x}_{1}x}{4}+{y}_{1}y=1$，$\frac{{x}_{2}x}{4}+{y}_{2}y=1$，
由于橢圓的兩條切線都經(jīng)過點Q（2，2），
則有$\frac{{2x}_{1}}{4}+2{y}_{1}$=1，$\frac{2{x}_{2}}{4}+2{y}_{2}$=1，
由于過A，B有且只有一條直線，
則直線AB的方程為$\frac{2x}{4}+2y=1$，即x+4y-2=0．
故答案為：x+4y-2=0．

點評 本題考查橢圓的切線的性質，考查切點弦方程的求法，考查運算能力，屬于中檔題．