Question

1．橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為橢圓的左、右焦點，O為坐標(biāo)原點，點P為橢圓上一點，$|OP|=\frac{{\sqrt{2}}}{4}a$，且|PF₁|，|F₁F₂|，|PF₂|成等比數(shù)列，則橢圓的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{4}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{6}}}{4}$

Answer 1

分析 根據(jù)兩點之間的距離公式求得$|OP{|^2}={x^2}+{y^2}=\frac{a^2}{8}$，利用橢圓的定義及等比數(shù)列的性質(zhì)，求得$|P{F_1}{|^2}+|P{F_2}{|^2}+8{c^2}=4{a^2}$，利用兩點之間的距離公式，即可求得a與c的關(guān)系，求得橢圓的離心率．

解答 解：設(shè)P（x，y），則$|OP{|^2}={x^2}+{y^2}=\frac{a^2}{8}$，
由橢圓定義：|PF₁|+丨PF₂丨=2a，|PF₁|²+2|PF₁|丨PF₂丨+丨PF₂丨²=4a²，
又∵|PF₁|，|F₁F₂|，|PF₂|成等比數(shù)列，
∴|PF₁|•|PF₂|=$|{F_1}{F_2}{|^2}=4{c^2}$，$|P{F_1}{|^2}+|P{F_2}{|^2}+8{c^2}=4{a^2}$，
∴（x+c）²+y²+（x-c）²+y²+8c²=4a²，整理得x²+y²+5c²=2a²，
即$\frac{{a}^{2}}{8}$+5c²=2a²，整理得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{8}$，
∴橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
故選D．

點評 本題考查橢圓的簡單幾何性質(zhì)，橢圓的定義，等比數(shù)列的性質(zhì)，考查點到直線的距離公式，考查計算能力，屬于中檔題．