Question

當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，求函數(shù)f（x）=x²+（2-6a）x+3a²的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由于函數(shù)f（x）=x²+（2-6a）x+3a²的圖象的對稱軸為x=3a-1，x∈[0，1]，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論求得函數(shù)的值域．

解答： 解：由于函數(shù)f（x）=x²+（2-6a）x+3a²的圖象的對稱軸為x=3a-1，x∈[0，1]，
①故當(dāng)3a-1＜0時(shí)，f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，故函數(shù)的最小值為f（0）=3a²，最大值為f（1）=3a²-6a+3，函數(shù)的值域?yàn)閇3a²，3a²-6a+3]．
②當(dāng)3a-1∈[0，

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]時(shí)，f（x）在[0，3a-1]上單調(diào)遞減，在（3a-1，1]上單調(diào)遞增，
故函數(shù)的最小值為f（3a-1）=-6a² +6a-1，最大值為f（1）=3a²-6a+3，函數(shù)的值域?yàn)閇-6a²+6a-1，3a²-6a+3]．
③當(dāng)3a-1∈（

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，1]時(shí)，f（x）在[0，3a-1]上單調(diào)遞減，在（3a-1，1]上單調(diào)遞增，
故函數(shù)的最小值為f（3a-1）=-6a² +6a-1，最大值為f（0）=3a²，故函數(shù)的值域?yàn)閇-6a²+6a-1，3a²]．
④當(dāng)3a-1＞1時(shí)，f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，故函數(shù)的最大值為f（0）=3a²，最小值為3a²-6a+3，故函數(shù)的值域?yàn)閇3a²-6a+3，3a²]．

點(diǎn)評：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬基礎(chǔ)題．