Question

14．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），F(xiàn)₁、F₂分別為其左右焦點，點B為橢圓與y軸的一個交點，△BF₁F₂的周長為6+2$\sqrt{6}$，橢圓的離心率為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
（1）求橢圓的方程；
（2）若點A為橢圓的左頂點，斜率為k的直線l過點E（1，0），且與橢圓交于C，D兩點，k_AC，k_AD分別為直線AC，AD的斜率，對任意的k，探索k_AC•k_AD是否為定值．若是則求出該值，若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）通過橢圓的定義計算即得結論；
（2）設直線l的方程并與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理及斜率公式計算即得結論．

解答 解：（1）∵點B為橢圓與y軸的一個交點，△BF₁F₂的周長為6+2$\sqrt{6}$，
∴由橢圓的定義及可知：c+$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$=3+$\sqrt{6}$，
又∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$、a²-b²=c²，
∴a²=9，b²=3，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）結論：k_AC•k_AD為定值-$\frac{1}{6}$．
理由如下：
由題可知A（-3，0），
∵斜率為k的直線l過點E（1，0），
∴直線l的方程為：y=k（x-1），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去y可得：（1+3k²）x²-6k²x+3k²-9=0，
設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
則x₁+x₂=$\frac{6{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3{k}^{2}-9}{1+3{k}^{2}}$，
∴k_AC•k_AD=$\frac{{y}_{1}-0}{{x}_{1}+3}$•$\frac{{y}_{2}-0}{{x}_{2}+3}$
=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}+3（{x}_{1}+{x}_{2}）+9}$
=$\frac{{k}^{2}（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}{{x}_{1}{x}_{2}+3（{x}_{1}+{x}_{2}）+9}$
=k²•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-（{x}_{1}+{x}_{2}）+1}{{x}_{1}{x}_{2}+3（{x}_{1}+{x}_{2}）+9}$
=k²•$\frac{\frac{3{k}^{2}-9}{1+3{k}^{2}}-\frac{6{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}+1}{\frac{3{k}^{2}-9}{1+3{k}^{2}}+3•\frac{6{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}+9}$
=-$\frac{1}{6}$．

點評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．