已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)是F1(1，2)、F2(1，－2)，離心率e=。

    (1)求橢圓C的方程；

    (2)是否存在直線ι，使之與圓x2+y2=1相切，且切點(diǎn)是ι與橢圓C的相交弦的中點(diǎn)?如果存在。求出其方程；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

 

答案：
解析：

(1)易得橢圓C的方程為。

(2)用假設(shè)驗(yàn)證法，問(wèn)題涉及弦的中點(diǎn)，故考慮用差分法�！　　　�

    設(shè)存在直線ι與橢圓C相交于中點(diǎn)為，如圖，則x0≤1。

    若

    又兩式相減整理，

得≤1矛盾。

    若，顯然有直線滿足條件。

    綜上所述，存在直線x=1滿足題設(shè)條件。

 


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(-2
2
，0)，F2(2
2
，0)，P為橢圓上一點(diǎn)，滿足∠F1PF2=60°．
（1）當(dāng)直線l過(guò)F1與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，且△MF2N的周長(zhǎng)為12時(shí)，求C的方程；
（2）求△F1PF2的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)給定橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），稱圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，半徑為
a2+b2
的圓是橢圓C的“伴隨圓”．
（1）若橢圓C過(guò)點(diǎn)(
5
，0)，且焦距為4，求“伴隨圓”的方程；
（2）如果直線x+y=3
2
與橢圓C的“伴隨圓”有且只有一個(gè)交點(diǎn)，那么請(qǐng)你畫出動(dòng)點(diǎn)Q（a，b）軌跡的大致圖形；
（3）已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1（-
2
，0）、F2（
2
，0），橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)M1滿足|
M1F1
|+|
M1F
2|=2
3
．設(shè)點(diǎn)P是橢圓C的“伴隨圓”上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線l1、l2使得l1、l2與橢圓C都各只有一個(gè)交點(diǎn)，且l1、l2分別交其“伴隨圓”于點(diǎn)M、N．當(dāng)P為“伴隨圓”與y軸正半軸的交點(diǎn)時(shí)，求l1與l2的方程，并求線段|
MN
|的長(zhǎng)度．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

給定橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），稱圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，半徑為
a2+b2
的圓是橢圓C的“伴隨圓”． 已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1(-
2
，0)、F2(
2
，0)，橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)M1滿足|
M1F1
|+|
M1F
2|=2
3
．
（Ⅰ）求橢圓C及其“伴隨圓”的方程
（Ⅱ）試探究y軸上是否存在點(diǎn)P（0，m）（m＜0），使得過(guò)點(diǎn)P作直線l與橢圓C只有一個(gè)交點(diǎn)，且l截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長(zhǎng)為2
2
．若存在，請(qǐng)求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），拋物線E以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，F(xiàn)2為焦點(diǎn)．直線l過(guò)點(diǎn)F2，且交y軸于D點(diǎn)，交拋物線E于A，B兩點(diǎn)若F1B⊥F2B，則|AF2|-|BF2|=
4
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•潮州二模）已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），點(diǎn)A(1，
2
2
)在橢圓C上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點(diǎn)B（2，0），設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上任一點(diǎn)，求
PF
1•
PB
的取值范圍．

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