給定橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），稱圓心在坐標原點O，半徑為
a2+b2
的圓是橢圓C的“伴隨圓”． 已知橢圓C的兩個焦點分別是F1(-
2
，0)、F2(
2
，0)，橢圓C上一動點M1滿足|
M1F1
|+|
M1F
2|=2
3
．
（Ⅰ）求橢圓C及其“伴隨圓”的方程
（Ⅱ）試探究y軸上是否存在點P（0，m）（m＜0），使得過點P作直線l與橢圓C只有一個交點，且l截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長為2
2
．若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由．
分析：（Ⅰ）由題意得：2a=2
3
得a=
3
，半焦距c=
2
，所以橢圓C的方程為
x2
3
+y2=1，“伴隨圓”的方程為x2+y2=4．
（Ⅱ）假設y軸上存在點P（0，m）（m＜0），則設過點P且與橢圓有一個交點的直線l為：y=kx+m，則　
y=kx+m
x2
3
+y2=1
，整理得（1+3k2）x2+6kmx+（3m2-3）=0，所以△=（6km）2-4（1+3k2）（3m2-3）=0，解3k2+1=m2，由此能夠導出y軸上存在點P（0，-2）．
解答：解：（Ⅰ）由題意得：2a=2
3
得a=
3
，半焦距c=
2
（2分）
則b=1橢圓C的方程為
x2
3
+y2=1（3分）
“伴隨圓”的方程為x2+y2=4（5分）
（Ⅱ）假設y軸上存在點P（0，m）（m＜0），
則設過點P且與橢圓有一個交點的直線l為：y=kx+m，（1分）
則　
y=kx+m
x2
3
+y2=1
整理得（1+3k2）x2+6kmx+（3m2-3）=0（3分）
所以△=（6km）2-4（1+3k2）（3m2-3）=0，解3k2+1=m2①（5分）
又因為直線l截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長為2
2
，
則有2
22-(
|m|
k2+1
)2
=2
2
化簡得m2=2（k2+1）②（7分）
聯(lián)立①②解得，k2=1，m2=4，所以k=±1，m=-2（∵m＜0）
所以y軸上存在點P（0，-2）（9分）
點評：本題考查圓錐曲線的直線 的位置關系和綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

給定橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（＞b＞0），將圓心在原點O、半徑是
a2+b2
的圓稱為橢圓C的“準圓”．已知橢圓C的方程為
x2
3
+y2=1．
（Ⅰ）過橢圓C的“準圓”與y軸正半軸的交點P作直線l1，l2，使得l1，l2與橢圓C都只有一個交點，求l1，l2的方程；
（Ⅱ）若點A是橢圓C的“準圓”與X軸正半軸的交點，B，D是橢圓C上的兩相異點，且BD⊥x軸，求
AB
•
AD
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•黃埔區(qū)一模）給定橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，稱圓心在原點O、半徑是
a2+b2
的圓為橢圓C的“準圓”．已知橢圓C的一個焦點為F(
2
，0)，其短軸的一個端點到點F的距離為
3
．
（1）求橢圓C和其“準圓”的方程；
（2）若點A是橢圓C的“準圓”與x軸正半軸的交點，B，D是橢圓C上的兩相異點，且BD⊥x軸，求
AB
•
AD
的取值范圍；
（3）在橢圓C的“準圓”上任取一點P，過點P作直線l1，l2，使得l1，l2與橢圓C都只有一個交點，試判斷l(xiāng)1，l2是否垂直？并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

給定橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，稱圓心在坐標原點O，半徑為
a2+b2
的圓是橢圓m的“伴隨圓”． 若橢圓C的一個焦點為F2(
2
，0)，其短軸上的一個端點到F2距離為
3
．
（Ⅰ）求橢圓C及其“伴隨圓”的方程；
（Ⅱ）若過點P（0，m）（m＜0）的直線l與橢圓C只有一個公共點，且l截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長為2
2
，求m的值；
（Ⅲ）過橢圓C“伴橢圓”上一動點Q作直線l1，l2，使得l1，l2與橢圓C都只有一個公共點，試判斷直線l1，l2的斜率之積是否為定值，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

給定橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），稱圓心在坐標原點O，半徑為
a2+b2
的圓是橢圓C的“伴隨圓”． 若橢圓C的一個焦點為F2（
2
，0），其短軸上的一個端點到F2距離為
3
．
（Ⅰ）求橢圓C及其“伴隨圓”的方程；
（Ⅱ）若過點P（0，m）（m＜0）的直線l與橢圓C只有一個公共點，且l截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長為2
2
，求m的值．

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