Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM=2MD，N為PC的中點(diǎn)．
（1）證明：MN∥平面PAB；
（2）求直線AN與平面PMN所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：取BC中點(diǎn)E，連結(jié)EN，EM，

∵N為PC的中點(diǎn)，∴NE是△PBC的中位線，

∴NE∥PB，

又∵AD∥BC，∴BE∥AD，

∵AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM=2MD，

∴BE= BC=AM=2，

∴四邊形ABEM是平行四邊形，

∴EM∥AB，∴平面NEM∥平面PAB，

∵M(jìn)N平面NEM，∴MN∥平面PAB

（2）

解：在△AMC中，由AM=2，AC=3，cos∠MAC= ，得CM2=AC2+AM2﹣2ACAMcos∠MAC=9+4- =5．

∴AM2+MC2=AC2，則AM⊥MC，

∵PA⊥底面ABCD，PA平面PAD，

∴平面ABCD⊥平面PAD，且平面ABCD∩平面PAD=AD，

∴CM⊥平面PAD，則平面PNM⊥平面PAD．

在平面PAD內(nèi)，過A作AF⊥PM，交PM于F，連接NF，則∠ANF為直線AN與平面PMN所成角．

在Rt△PAC中，由N是PC的中點(diǎn)，得AN= ，

在Rt△PAM中，由PAAM=PMAF，得AF= ，

∴ ．

∴直線AN與平面PMN所成角的正弦值為

【解析】（1）法一、取PB中點(diǎn)G，連接AG，NG，由三角形的中位線定理可得NG∥BC，且NG= BC，再由已知得AM∥BC，且AM= BC，得到NG∥AM，且NG=AM，說明四邊形AMNG為平行四邊形，可得NM∥AG，由線面平行的判定得到MN∥平面PAB；
法二、證明MN∥平面PAB，轉(zhuǎn)化為證明平面NEM∥平面PAB，在△PAC中，過N作NE⊥AC，垂足為E，連接ME，由已知PA⊥底面ABCD，可得PA∥NE，通過求解直角三角形得到ME∥AB，由面面平行的判定可得平面NEM∥平面PAB，則結(jié)論得證；
（2）連接CM，證得CM⊥AD，進(jìn)一步得到平面PNM⊥平面PAD，在平面PAD內(nèi)，過A作AF⊥PM，交PM于F，連接NF，則∠ANF為直線AN與平面PMN所成角．然后求解直角三角形可得直線AN與平面PMN所成角的正弦值．本題考查直線與平面平行的判定，考查直線與平面所成角的求法，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查了空間想象能力和計算能力，是中檔題．