Question

已知函數(shù)f（x）=2cos²

ωx

2

+sinωx（ω＞0）的最小正周期為π
（Ⅰ）求f（

π

4

）的值；
（Ⅱ）在銳角△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，若f（A）=2，c=3，△ABC的面積為3

3

，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的周期性及其求法,余弦定理

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)f（x），可得f（x）=

2

sin（ωx+

π

4

）+1，根據(jù)函數(shù)的周期為T(mén)=

2π

ω

=π，求得ω=2，可得f（

π

4

）的值．
（Ⅱ）在銳角△ABC中，由條件可得

2

sin（2A+

π

4

）+1=2，求得A的值．根據(jù)

1

2

bc•sinA=3

3

求得b，再利用余弦定理求得a的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=2cos²

ωx

2

+sinωx=cosωx+sinωx+1=

2

sin（ωx+

π

4

）+1，
∴函數(shù)的周期為T(mén)=

2π

ω

=π，∴ω=2，∴f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+1，f（

π

4

）=

2

sin

3π

4

+1=2．
（Ⅱ）在銳角△ABC中，∵f（A）=2，c=3，△ABC的面積為3

3

，
∴

2

sin（2A+

π

4

）+1=2，sin（2A+

π

4

）=

2

2

，∴A=

π

4

．
再根據(jù)

1

2

bc•sinA=3

3

∴

1

2

b•3•

2

2

=3

3

，∴b=2

6

．
∴a=

b2+c2-2bc•cosA

=

33-12 3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的周期性，正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．