Question

對于實(shí)數(shù)a和b，定義運(yùn)算“*”：a*b=

-a2+2ab-1，a≤b b2-ab，a＞b.

設(shè)f（x）=（2x-1）*（x-1），且關(guān)于x的方程為f（x）=m（m∈R）恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根x₁，x₂，x₃，則x₁•x₂•x₃的取值范圍是（　　）

• A、(-

  1

  32

  ，0)
• B、(-

  1

  16

  ，0)
• C、(0，

  1

  32

  )
• D、(0，

  1

  16

  )

Answer 1

分析：由新定義，可以求出函數(shù)的解析式，進(jìn)而求出x的方程為f（x）=m（m∈R）恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍，及三個(gè)實(shí)根之間的關(guān)系，進(jìn)而求出x₁•x₂•x₃的取值范圍．

解答：解：由2x-1≤x-1，得x≤0，此時(shí)f（x）=（2x-1）*（x-1）=-（2x-1）²+2（2x-1）（x-1）-1=-2x，
由2x-1＞x-1，得x＞0，此時(shí)f（x）=（2x-1）*（x-1）=（x-1）²-（2x-1）（x-1）=-x²+x，
∴f（x）=（2x-1）*（x-1）=

-2x，x≤0 -x2+x，x＞0

，
作出函數(shù)的圖象可得，
要使方程f（x）=m（m∈R）恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根x₁，x₂，x₃，不妨設(shè)x₁＜x₂＜x₃，
則0＜x₂＜

1

2

＜x₃＜1，且x₂和x₃，關(guān)于x=

1

2

對稱，
∴x₂+x₃=2×

1

2

=1．則x₂+x₃≥2

x2x3

，0＜x₂x₃＜

1

4

，等號取不到．
當(dāng)-2x=

1

4

時(shí)，解得x=-

1

8

，
∴-

1

8

＜x₁＜0，
∵0＜x₂x₃≤

1

4

，
∴-

1

32

＜x₁•x₂•x₃＜0，
即x₁•x₂•x₃的取值范圍是(-

1

32

，0)，
故選：A．

點(diǎn)評：本題考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，根據(jù)已知新定義，求出函數(shù)的解析式，并分析出函數(shù)圖象是解答的關(guān)鍵．