Question

（2013•杭州二模）已知直線y=2x-2與拋物線x²=2py（p＞0）交于M₁，M₂兩點(diǎn)，|M₁M₂|=8

15

．
（I）求P的值；
（Ⅱ）設(shè)A是直線y=

p

2

上一點(diǎn)，直線AM₂交拋物線于另點(diǎn)M₃，直線M₁M₃交直線y=

p

2

于點(diǎn)B，求

OA

•

OB

的值．

Answer 1

分析：（I）聯(lián)立直線方程與拋物線方程消掉y得x的二次方程，設(shè)M₁（x₁，y₁），M₂（x₂，y₂），根據(jù)韋達(dá)定理及弦長公式可得一方程，解出即得p值；
（Ⅱ）由（I）知

x1+x2=16 x1x2=16

，M1(x1，

x12

8

)，M2(x2，

x22

8

)，設(shè)M3(x3，

x32

8

)，A（t，2），B（a，2），由A、M₂，M₃三點(diǎn)共線得，kM2M3=kAM2，整理得①式，同理由B、M₃，M₁三點(diǎn)共線得②式，結(jié)合韋達(dá)定理可得at值，由此可求得

OA

•

OB

的值．

解答：解：（I）由

y=2x-2 x2=2py

，整理得x²-4px+4p=0，
設(shè)M₁（x₁，y₁），M₂（x₂，y₂），則

△=16p2-16p＞0 x1+x2=4p x1x2=4p

，
∵|M₁M₂|=8

15

．∴

[(x1+x2)2-4x1x2](1+22)

=8

15

，即

(16p2-16p)•5

=8

15

，
∴p²-p-12=0，解得p=4或p=-3（舍），且p=4滿足△＞0，
所以p=4．
（Ⅱ）由（I）知拋物線方程為x²=8y，且

x1+x2=16 x1x2=16

，M1(x1，

x12

8

)，M2(x2，

x22

8

)，
設(shè)M3(x3，

x32

8

)，A（t，2），B（a，2），
由A、M₂，M₃三點(diǎn)共線得，kM2M3=kAM2，
所以

x2+x3

8

=

x22 8 -2

x2-t

，即x22+x2x3-t(x2+x3)=x22-16，
整理得x₂x₃-t（x₂+x₃）=-16，①
由B、M₃，M₁三點(diǎn)共線，同理可得x₁x₃-a（x₁+x₃）=-16，②
②式兩邊同乘x₂得，x₁x₂x₃-a（x₁x₂+x₂x₃）=-16x₂，即16x₃-a（16+x₂x₃）=-16x₂，③
由①得x₂x₃=t（x₂+x₃）-16，代入③得16x₃-16a-ta（x₂+x₃）+16a=-16x₂，即16（x₂+x₃）=at（x₂+x₃），
所以at=16，
所以

OA

•

OB

=at+4=20．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線方程、直線的斜率及弦長公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生應(yīng)用知識(shí)分析解決問題的能力，對(duì)式子恰當(dāng)活變形靈運(yùn)用韋達(dá)定理是解決（Ⅱ）問的關(guān)鍵．