Question

已知函數(shù)f（x）滿足下列條件：
（Ⅰ）定義域為[0，1]；
（Π）對于任意x∈[0，1]，f（x）≥0，且f（1）=1；
（Ⅲ）當(dāng)x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1時，f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立．
（1）求f（0）的值；
（2）證明：對于任意的0≤x≤y≤1，都有f（x）≤f（y）成立；
（3）當(dāng)0≤x≤1時，探究f（x）與2x的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1）由函數(shù)f（x）滿足條件（Π）知f（0）≥0；（1分）
在條件（Ⅲ）中，令x₁=x₂=0得：f（0）≥f（0）+f（0），
∴f（0）≤0；（3分）
故f（0）=0．（4分）

（2）證明：對于任意的0≤x≤y≤1，有0≤y-x≤1成立；（5分）
由f（x）滿足條件（Π）可得：f（y-x）≥0；（6分）
再由f（x）滿足條件（Ⅲ）可得：
f（y）=f[（y-x）+x]≥f（y-x）+f（x）≥f（x），（8分）
即對于任意的0≤x≤y≤1，都有f（x）≤f（y）成立；（9分）

（3）當(dāng)

1

2

≤x≤1時，2x≥1，
由第（2）問結(jié)論知f（x）≤f（1）=1，∴f（x）≤2x；
當(dāng)x=0時，由f（0）=0知f（x）≤2x也成立；
故可猜想：當(dāng)0≤x≤1時，f（x）≤2x（10分）
下面用反證法證明猜想成立：
假設(shè)存在x_°∈[0，1]，使得f（x₀）＞2x₀，
由f（0）=0知x₀≠0，故必存在正整數(shù)k
使得x₀∈[

1

2k

，

1

2k-1

]，∴x₀，2x₀，4x₀，，2^k-1x₀均在[0，1上，
由條件（Ⅲ）及假設(shè)知：
f（2x₀）=f（x₀+x₀）≥f（x₀）+f（x₀）=2f（x₀）＞4x₀，
故f（4x₀）＞8x₀，，f（2^k-1x₀）＞2^kx₀；（12分）
∵x₀∈[

1

2k

，

1

2k-1

]，∴

1

2

≤2k-1x0≤1，∴f（2^k-1x₀）≤f（1）=1
又∵2^kx₀≥1，f（2^k-1x₀）＞2^kx₀，
∴f（2^k-1x₀）＞1，與f（2^k-1x₀）≤1矛盾，故假設(shè)不成立；
所以對于任意的0≤x≤1，都有f（x）≤2x成立．（14分）