已知三棱錐S-ABC中，側(cè)棱SA、SB、SC兩兩垂直，若將此三棱錐沿側(cè)棱展成平面圖形恰好可以形成一個邊長為a的正方形.

(Ⅰ)求證：頂點S在底面ABC的射影O是底面△ABC的垂心；

(Ⅱ)求SC與底面ABC所成的角的大小.

解：(Ⅰ)作SO⊥平面ABC,連接AO、BO,

因為側(cè)棱SA、SB、SC兩兩垂直,易證SA⊥平面SBC、SB⊥平面SAC、SC⊥平面SAB. 

所以SA⊥BC,由三垂線定理的逆定理,AO⊥BC,同理可證BO⊥AC.所以O(shè)為高線的交點,即為△ABC垂心. 

(Ⅱ)連接CO,則∠SCO為SC與底面ABC所成的角. 

由于三棱錐的展開圖成邊長為a的正方形,則B、C分別為SS′和SS″的中點,即SB=SC=,所以SA=a,AB=AC=a,BC=a. 

延長CO交AB于D,連接SD.因為CO⊥AB,根據(jù)三垂線定理,SD⊥AB

在三角形SAB中,∠ASB=90°,SB=,SA=a,AB=a,所以SD=a

所以,tan∠SCO=tan∠SCD==

即SC與底面ABC所成的角的大小為arctan


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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知三棱錐S-ABC的各頂點都在一個半徑為r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，AC=
2
r，則球的體積與三棱錐體積之比是（　　）
A、πB、2πC、3πD、4π

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已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC=2；則此棱錐的體積為
2
6
2
6
．

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3
3
．

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（2013•蘭州一模）已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在以O(shè)為球心的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，若三棱錐S-ABC的體積為
2
6
，則球O的表面積為
4π
4π
．

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已知三棱錐S-ABC的四個頂點在以O(shè)為球心的同一球面上，且SA=SB=SC=AB，∠ACB=90°，則當(dāng)球的表面積為400π時，點O到平面ABC的距離為（　�。�

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