Question

如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點

（I）求證：平面BCD；
（II）求異面直線AB與CD所成角的余弦值；
（III）求點E到平面ACD的距離。

Answer 1

（I）證明：見解析；（II）（III）點E到平面ACD的距離為

試題分析：（I）欲證AO⊥平面BCD，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證AO與平面BCD內兩相交直線垂直，而CO⊥BD，AO⊥OC，BD∩OC=O，滿足定理；
（II）以O為原點，OB為x軸，OC為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標系，異面直線AB與CD的向量坐標，求出兩向量的夾角即可；
（III）求出平面ACD的法向量，點E到平面ACD的距離轉化成向量EC在平面ACD法向量上的投影即可．
解：（I）證明：連結OC


在中，由已知可得
而    即
   平面
（II）解：取AC的中點M，連結OM、ME、OE，由E為BC的中點知
直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角
在中，

是直角斜邊AC上的中線，  
（III）解：設點E到平面ACD的距離為
   在中，
   而
 點E到平面ACD的距離為
點評：解決該試題的關鍵是能對于空間中點線面的位置關系的研究，既可以運用幾何方法來證明，也可以建立直角坐標系，借助于向量來得到。