Question

已知 f（x）=ax-lnx，g（x）=

lnx

x

，其中x∈（0，e]（e是自然常數(shù)），a∈R
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)性、極值；
（Ⅱ）求證：在（Ⅰ）的條件下，f（x）＞g（x）+

1

2

；   
（Ⅲ）是否存在a∈R，使f（x）的最小值是3，若存在求出a的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=x-lnx，f'（x）=1-

1

x

=

x-1

x

（1分）
∴0＜x＜1時(shí)，f'（x）＜0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞減，
1＜x＜e時(shí)，f'（x）＞0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞增（3分）
∴f（x）的極小值為f（1）=1（4分）
（Ⅱ）∵f（x）的極小值為1，即f（x）在（0，e]上的最小值為1，
∴f（x）＞0，f（x）_min=1（5分）
令h（x）=g（x）+

1

2

=

lnx

x

+

1

2

，h'（x）=

1-lnx

x2

，（6分）
當(dāng)0＜x＜e時(shí)，h'（x）＞0，h（x）在（0，e]上單調(diào)遞增（8分）
∴h（x）_max=h（e）=

1

e

+

1

2

＜

1

2

+

1

2

=1=f（x）_min
∴在（1）的條件下，f（x）＞g（x）+

1

2

；   （9分）
（Ⅲ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使f（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值3，
f'（x）=a-

1

x

=

ax-1

x

①當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，f（x）_min=f（e）=ae-1=3?a=

4

e

（舍去），所以，此時(shí)f（x）無最小值．（11分）
②當(dāng)0＜

1

a

＜e時(shí)，f（x）在（0，

1

a

）上單調(diào)遞減，在（

1

a

，e]上單調(diào)遞增
f（x）_min=f（

1

a

）=1+lna=3，a=e²，滿足條件．（12分）
③當(dāng)

1

a

≥e時(shí)，f（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，f（x）_min=f（e）=ae-1=3?a=

4

e

（舍去），所以，此時(shí)f（x）無最小值．
綜上，存在實(shí)數(shù)a=e²，使得當(dāng)x∈（0，e]時(shí)f（x）有最小值3．（14分）