Question

8．已知函數(shù)f（x）=e^x，g（x）=ln（x+a）+b．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）與g（x）的圖象在點（0，1）處有相同的切線，求a，b的值；
（Ⅱ）當(dāng)b=0時，f（x）-g（x）＞0恒成立，求整數(shù)a的最大值；
（Ⅲ）證明：ln2+（ln3-ln2）²+（ln4-ln3）³$+…+{[ln（n+1）-lnn]^n}＜\frac{e}{e-1}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知，f（x）和 g（x）在（0，1）處有相同的切線，即在（0，1）處f（0）=g（0）且f′（0）=g′（0），由此列式即可求得a，b的值；
（Ⅱ）證明e^x＞x+1，lnx≤x-1．由題意，當(dāng)a≤2時，e^x＞x+1且ln（x+2）≤x+1，即e^x＞x+1≥ln（x+2），說明a=2時，f（x）-g（x）＞0 成立．再由a≥3 時，e⁰＜lna，即e^x≥ln（+a）不恒成立．可得整數(shù)a 的最大值為2；                                                                                                                  
（Ⅲ）由e^x＞ln（x+2），令x=$\frac{-n+1}{n}$，得${e}^{\frac{-n+1}{n}}$＞$ln（\frac{-n+1}{n}+2）$，分別取n=1，2，3，…，n，然后利用累加法即可證明ln2+（ln3-ln2）²+（ln4-ln3）³$+…+{[ln（n+1）-lnn]^n}＜\frac{e}{e-1}$．

解答 （Ⅰ）解：由題意可知，f（x）和 g（x）在（0，1）處有相同的切線，
即在（0，1）處f（0）=g（0）且f′（0）=g′（0），
∵f′（x）=e^x，g′（x）=$\frac{1}{x+a}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1=lna+b}\\{1=\frac{1}{a}}\end{array}\right.$，
解得a=1，b=1；
（Ⅱ）解：現(xiàn)證明e^x＞x+1（x＞0），設(shè) F（x）=e^x-x-1，
令F′（x）=e^x-1=0，即 x=0，
因此F（x）_min=F（0）=0，即F（x）＞0 恒成立，
即 e^x＞x+1（x＞0），
同理可證 lnx≤x-1．
由題意，當(dāng)a≤2時，e^x＞x+1且ln（x+2）≤x+1，
即e^x＞x+1≥ln（x+2），
即 a=2時，f（x）-g（x）＞0 成立．
當(dāng)a≥3 時，e⁰＜lna，即e^x≥ln（+a）不恒成立．
因此整數(shù)a 的最大值為2；                                                                                                                  
（Ⅲ）證明：由e^x＞ln（x+2），令x=$\frac{-n+1}{n}$，
即${e}^{\frac{-n+1}{n}}$＞$ln（\frac{-n+1}{n}+2）$，
由此可知，當(dāng)n=1 時e⁰＞ln2，
當(dāng)n=2 時，e^-1＞（ln3-ln2）²，
當(dāng)n=3時，e^-2＞（ln4-ln3）²，
…
當(dāng)n=n 時，e^-n+1＞[ln（n+1）-lnn]ⁿ．
綜上：e⁰+e^-1+e^-2+…+e^-n+1＞ln2+（ln3-ln2）²+（ln4-ln3）²+…+[ln（n+1）-lnn]ⁿ．
而e⁰+e^-1+e^-2+…+e^-n+1=$\frac{1×[1-（\frac{1}{e}）^{n}]}{1-\frac{1}{e}}＜\frac{1}{1-\frac{1}{e}}=\frac{e}{e-1}$，
∴l(xiāng)n2+（ln3-ln2）²+（ln4-ln3）³$+…+{[ln（n+1）-lnn]^n}＜\frac{e}{e-1}$．

點評 本小題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的知識，具體涉及到導(dǎo)數(shù)的運算，利用導(dǎo)數(shù)比較大小等，考查學(xué)生解決問題的綜合能力，是中檔題．