Question

20．已知命題p：?x∈{x|-1＜x＜1}，使等式x²-x-m=0，命題q：函數(shù)f（x）=-（m²-m+1）^x在（-∞，+∞）上是增函數(shù)．若p或q為真，p且q為假，則實數(shù)的取值范圍$[-\frac{1}{4}，0]$∪[1，2）．

Answer 1

分析 命題p：?x∈{x|-1＜x＜1}，使等式x²-x-m=0，則m=x²-x=$（x-\frac{1}{2}）^{2}$-$\frac{1}{4}$∈$（-\frac{1}{4}，2）$．命題q：函數(shù)f（x）=-（m²-m+1）^x在（-∞，+∞）上是增函數(shù)．可得0＜m²-m+1＜1，解得m范圍．根據(jù)p或q為真，p且q為假，p與q必然一真一假．

解答 解：命題p：?x∈{x|-1＜x＜1}，使等式x²-x-m=0，則m=x²-x=$（x-\frac{1}{2}）^{2}$-$\frac{1}{4}$∈$[-\frac{1}{4}，2）$．
命題q：函數(shù)f（x）=-（m²-m+1）^x在（-∞，+∞）上是增函數(shù)．∴0＜m²-m+1＜1，解得0＜m＜1．
若p或q為真，p且q為假，
∴p與q必然一真一假．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{4}≤m＜2}\\{m≤0或m≥1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m＜-\frac{1}{4}或m≥2}\\{0＜m＜1}\end{array}\right.$，
解得：$-\frac{1}{4}≤m≤$0，或1≤m＜2，或∅．
則實數(shù)的取值范圍是$[-\frac{1}{4}，0]$∪[1，2）．
故答案為：$[-\frac{1}{4}，0]$∪[1，2）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、方程與不等式的解法、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．