Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

cos2x+

3

2

sinxcosx+1(x∈R)，
求：（1）函數(shù)f（x）的最小正周期、最值及取得最值時(shí)相應(yīng)的x值；
    （2）該函數(shù)的圖象可由函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換而得？

Answer 1

分析：利用二倍角公式以及兩角和的正弦函數(shù)化簡函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，
（1）直接利用周期公式求出函數(shù)f （x）的最小正周期；利用正弦函數(shù)的最值，求出函數(shù)f （x）的最值，以及取得最值時(shí)x的取值集合；
（2）將函數(shù)y=sinx的圖象上每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?

1

2

倍（縱坐標(biāo)不變），再將圖象向左平移

π

12

個(gè)單位長度，再將圖象上每一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?span id="nigw5es" class="MathJye">

1

2

倍（橫坐標(biāo)不變）；最后在整體向上平移

5

4

個(gè)單位即可．先ω，再φ，后A的變換過程．

解答：解：∵f（x）=

1

2

cos2x+

3

2

sinxcosx+1(x∈R)，
=

cos2x+1

4

+

3 sin2x

4

+1
=

cos2x+ 3 sin2x

4

+

5

4

=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

5

4

．
（1）T=

2π

2

=π；
當(dāng) 2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，（k∈Z）時(shí)，
即 x∈{x|x=kπ+

π

6

，（k∈Z）}時(shí)，
∴f（x）max=

7

4

．
當(dāng) 2x+

π

6

=2kπ-

π

2

，（k∈Z）時(shí)，
即 x∈{x|x=kπ-

2π

3

，（k∈Z）}時(shí)，
∴f（x）_min=

3

4

．
（2）將函數(shù)y=sinx的圖象上每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?

1

2

倍（縱坐標(biāo)不變），再將圖象向左平移

π

12

個(gè)單位長度，再將圖象上每一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?span id="b1nlbxc" class="MathJye">

1

2

倍（橫坐標(biāo)不變）；最后在整體向上平移

5

4

個(gè)單位即可得到函數(shù)f（x）=

1

2

cos2x+

3

2

sinxcosx+1(x∈R)的圖象．

點(diǎn)評：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的化簡求值，最值、周期、函數(shù)圖象的變換，主要考查基本知識的靈活應(yīng)用，基本知識的掌握的熟練程度，決定解題的好壞和快慢．