已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(2-x)+f(x)=0和f(x-2)+f(x)=0,且當x∈[1,2]時f(x)=1-(x-2)2.若直線y=kx(k為常數(shù)),與函數(shù)f(x)的圖象在區(qū)間(-2,5)上恰有4個公共點,則實數(shù)k的取值范圍是( 。
A、(2
15
-8,0)
B、(2
3
-4,0)
C、(-
1
2
,0
D、(-
1
4
,0
分析:依題意,可求得y=f(x)的圖象關于(1,0)對稱;①是偶函數(shù);②是以4k(k∈Z且k≠0)為周期的函數(shù);③函數(shù)f(x)關于直線x=2對稱,④;依此作圖,及可求得答案.
解答:解:∵f(2-x)+f(x)=0,
∴y=f(x)的圖象關于(1,0)成中心對稱對稱;①
又f(x-2)+f(x)=0,
∴f(2-x)=f(x-2)=f[-(2-x)],
∴函數(shù)f(x)為偶函數(shù);②
又f(x-2)+f(x)=0,
∴f(x-2)=-f(x),
∴f(x-4)=-f(x-2)=f(x),
∴函數(shù)f(x)是以4k(k∈Z且k≠0)為周期的函數(shù);③
由函數(shù)f(x)為偶函數(shù)得:f(2-x)+f(x)=0?f(2+x)+f(-x)=0?f(2+x)+f(x)=0,
∴f(2+x)=f(2-x),即函數(shù)f(x)關于直線x=2對稱,④
又當x∈[1,2]時f(x)=1-(x-2)2,
∴由①②③④作圖如下:
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由圖知,當k>0時,直線y=kx(k為常數(shù))與函數(shù)f(x)的圖象在區(qū)間(-2,5)上恰有3個公共點,不符合題意;
∴k<0,令y=g(x)=kx,
則g(4)=4k>-1,
解得:-
1
4
<k<0.
故選:D.
點評:本題考查抽象函數(shù)及其應用,著重考查函數(shù)的零點與方程根的關系,考查函數(shù)的對稱性、周期性、奇偶性的綜合應用,考查轉化思想與作圖能力,屬于難題.
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③y=f(x+1)是偶函數(shù),
則下列不等式中正確的是( 。

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f(x-1)-f(x-2),x>0
log2(1-x),       x≤0
  則:
①f(3)的值為
0
0

②f(2011)的值為
-1
-1

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,則f(3)=(  )

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A、-2B、2C、4D、-4

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A、0B、2013C、3D、-2013

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