Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前3項和為3，前6項和為24，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)bn=(

1

2

)a，(n∈N×)，求證：b1+b2+…+bn＜

8

3

．

Answer 1

分析：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公差為d，分別表示出前3項和與前6項和，聯(lián)立方程組，求得a₁和d，進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求得數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）把（1）中的a_n代入b_n推知數(shù)列{b_n}是以2為首項，

1

4

為公比的等比數(shù)列．進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列求和公式求得數(shù)列{b_n}的前n項和，進(jìn)而可知b1+b2+…+bn＜

8

3

解答：解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公差為d，由已知得

2a1+3d=3 6a1+15d=24

，解得a₁=-1，d=2
∴a_n=-1+2（n-1）=2n-3
（2）由（1）中得b_n=（

1

2

）^an=8（

1

4

）n，
∴數(shù)列{b_n}是以2為首項，

1

4

為公比的等比數(shù)列．
設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n．
則T_n=b₁+b₂+…b_n=

2[1-( 1 4 ) n]

1- 1 4

=

8

3

[1-（

1

4

）ⁿ]＜

8

3

點評：本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列的求和公式．屬基礎(chǔ)題．