Question

已知f（x）=ax²+2bx+4c（a，b，c∈R）
（1）若a+c=0，f（x）在[-2，2]上的最大值為

2

3

，最小值為-

1

2

，求證：|

b

a

|≤2
（2）當(dāng)b=4，c=

3

4

時(shí)，對于給定的負(fù)數(shù)a，有一個(gè)最大的正數(shù)m（a），使得x∈[0，m（a）]時(shí)都有|f（x）|≤5，問a為何值時(shí)，m（a）最大，并求這個(gè)最大值m（a），證明你的結(jié)論．
（3）若f（x）同時(shí)滿足下列條件：①a＞0；②當(dāng)|x|≤2時(shí)，有|f（x）|≤2；③當(dāng)|x|≤1時(shí)，f（x）最大值為2，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）利用反證法證明，若a等于0，得到c也等于0，所以f（x）等于2bx，得到f（2）與f（-2）互為相反數(shù)，不合題意；若a不為0，由a+c=0，解得c=-a，代入f（x）中，求出二次函數(shù)的對稱軸，假設(shè)對稱軸小于-2或大于2，即可得到對稱軸在區(qū)間的左外側(cè)或右外側(cè)，得到f（x）為單調(diào)函數(shù)，函數(shù)的最值在x=2，-2取到，把2和-2代入得到最值互為相反數(shù)，不合題意，所以假設(shè)錯(cuò)誤，綜上，得證；
（2）把b與c的值代入f（x）中，配方得到頂點(diǎn)式，由a小于0，得到函數(shù)有最大值，表示出這個(gè)最大值，當(dāng)最大值大于5時(shí)，求出此時(shí)a的范圍，又最大值小于-

4

a

，M（a）是方程ax²+8x+3=5的較小根，利用求根公式求出M（a）即可判斷出M（a）小于

1

2

；當(dāng)最大值小于等于5時(shí)，求出此時(shí)a的范圍，最大值大于-

4

a

，M（a）是方程ax²+8x+3=-5的較大根，根據(jù)求根公式求出M（a）即可判斷M（a）小于等于

5 +1

2

，又

5 +1

2

大于

1

2

，即可得到M（a）的最大值；
（3）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，由a大于0，求出函數(shù)有最大值讓其等于2，得到a與b的關(guān)系式，由-2≤f（0）=4a=4a+4b+4c-4（a+b）=f（2）-4≤2-4=-2，得c的值，又因?yàn)閨f（x）|≤2，所以f（x）≥-2=f（0），即可得到x=0時(shí)，函數(shù)取得最小值，表示出對稱軸讓其等于0，即可求得b的值，進(jìn)而求出a的值，把a(bǔ)，b和c的值代入即可確定出f（x）的解析式．

解答：解：（1）若a=0，則c=0，f（x）=2bx，f（2）=4b，f（-2）=-4b，不合題意；
若a≠0時(shí)，由a+c=0，得f（x）=ax²+2bx-4a，
對稱軸為x=-

b

a

，假設(shè)

b

a

∈（-∞，-2）∪（2，+∞），
區(qū)間[-2，2]在對稱軸的左外側(cè)或右外側(cè)，所以f（x）在[-2，2]上是單調(diào)函數(shù)，
則f（x）的最值必在x=2，x=-2處取到，
f（2）=4b，f（-2）=-4b，f（2）+f（-2）=0≠

2

3

+（-

1

2

）=

1

6

，
所以假設(shè)錯(cuò)誤，則|

b

a

|≤2，
綜上，得到|

b

a

|≤2；
（2）

把b=4，c=

3

4

代入得：f（x）=ax²+8x+3=a(x+

4

a

)2+3-

16

a

，
∵a＜0，所以f（x）_max=3-

16

a

①當(dāng)3-

16

a

＞5，即-8＜a＜0時(shí)，
M（a）滿足：-8＜a＜0且0＜M（a）＜-

4

a

，
所以M（a）是方程ax²+8x+3=5的較小根，
則M（a）=

-8+ 64-32a

2a

=

2

16+2a +4

＜

2

4

=

1

2

；
②當(dāng)3-

16

a

≤5即a≤-8時(shí)，此時(shí)M（a）≥-

4

a

，
所以M（a）是ax²+8x+3=-5的較大根，
則M（a）=

-8- 64-32a

2a

=

4

4-2a -2

≤

4

20 -2

=

5 +1

2

，
當(dāng)且經(jīng)當(dāng)a=-8時(shí)取等號(hào)，
由于

5 +1

2

＞

1

2

，因此當(dāng)且經(jīng)當(dāng)a=-8時(shí)，M（a）取最大值

5 +1

2

；
（3）求得f′（x）=2ax+2b，
∵a＞0，∴f（x）_max=2a+2b=2，即a+b=1，
則-2≤f（0）=4a=4a+4b+4c-4（a+b）=f（2）-4≤2-4=-2，
∴4c=-2，解得c=-

1

2

，
又∵|f（x）|≤2，所以f（x）≥-2=f（0）
∴f（x）在x=0處取得最小值，且0∈（-2，2），
∴-

2b

2a

=0，解得b=0，從而a=1，
∴f（x）=x²-2．

點(diǎn)評：此題考查學(xué)生會(huì)利用反證法進(jìn)行證明，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，會(huì)求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是一道綜合題．