(2009•襄陽(yáng)模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn是二項(xiàng)式(1+2x)2n(n∈N*)展開式中含x奇次冪的系數(shù)和.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)f(n)=
4
9an+12
,求cn=f(0)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n
n
),求
1
c1c2
+
1
c2c3
+…+
1
cncn+1
的值.
分析:(1)記(1+2x)2n=a0+a1x+…+a2nx2n,利用賦值可分別令x=1得:32n=a0+a1+…+a2n,令x=-1得:1=a0-a1+a2-a3+…-a2n-1+a2n兩式相減得:32n-1=2(a1+a3+…+a2n-1),從而可求
(2)由(1)可得 f(n)=
4
9n+12
=
1
9n+3
,注意到f(n)+f(1-n)=
1
3
,從而可考慮利用倒序相加求和,再利用裂項(xiàng)法可求
1
c1c2
+
1
c2c3
+…+
1
cncn+1
的值
解答:(1)解:記(1+2x)2n=a0+a1x+a2x2+…+a2n-1x2n-1+a2nx2n
令x=1得:32n=a0+a1+a2+…+a2n-1+a2n
令x=-1得:1=a0-a1+a2-…-a2n-1+a2n
兩式相減得:32n-1=2(a1+a3+…+a2n-1
∴Sn=
1
2
(9n-1)(4分)
當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=4×9n-1當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=4,適合上式
∴an=4×9n-1(n∈N)    (6分)
(2)解:f(n)=
4
9n+12
=
1
9n+3

注意到f(n)+f(1-n)=
1
9n+3
+
1
91-n+3
=
1
9n+3
+
9n
9+3×9n
=
1
3
    (8分)
cn=f(0)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n
n
),
可改寫為cn=f(
n
n
)+f(
n-1
n
)+…+f(
1
n
)+f(0)
∴2cn=[f(0)+f(
n
n
)]+[f(
1
n
)+f(
n-1
n
)]+…+[f(
n-1
n
)+f(
1
n
)]+[f(
n
n
)+f(0)]
故cn=
n+1
6
,即f(0)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n
n
)=
n+1
6
   (8分)
1
cncn+1
=
36
(n+1)(n+2)
=36×(
1
n+1
-
1
n+2

1
c1c2
+
1
c2c3
+…+
1
cncn+1

=36×[(
1
2
-
1
3
)+(
1
3
-
1
4
)+…+(
1
n+1
-
1
n+2
)    (12分)
=36×(
1
2
-
1
n+2
)]=18-
36
n+2
(14分)
點(diǎn)評(píng):本題以數(shù)列為載體,主要考查了利用賦值法求二項(xiàng)展開式的系數(shù),及數(shù)列求和中的倒序相加、裂項(xiàng)求和等方法的應(yīng)用.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2009•襄陽(yáng)模擬)過(guò)點(diǎn)A(2,-3),且與向量m=(4,-3)垂直的直線方程是
4x-3y-17=0
4x-3y-17=0

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2009•襄陽(yáng)模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn是二項(xiàng)式(1+2x)2n(n∈N* )展開式中含x奇次冪的系數(shù)和.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)f(n)=
4
9an+12
,求f(0)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n
n
);
(3)證明:
a2
(a2-4)(a3-4)
+
a3
(a3-4)(a4-4)
+…+
an
(an-4)(an+1-4)
1
256
(1-
1
4n2-3n
).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2009•襄陽(yáng)模擬)將函數(shù)f(x)=2x+1-1的反函數(shù)的圖象按向量
a
=(1,1)平移后得到函數(shù)g(x)的圖象,則g (x)的表達(dá)式為( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2009•襄陽(yáng)模擬)在如圖所示的四面體ABCD中,AB、BC、CD兩兩互相垂直,且BC=CD=1.
(1)求證:平面ACD⊥平面ABC;
(2)求二面角C-AB-D的大;
(3)若直線BD與平面ACD所成的角為θ,求θ的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2009•襄陽(yáng)模擬)設(shè)全集U={1,3,5,7},M={1,a-5},CUM={5,7},則實(shí)數(shù)a的值為( 。

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案