Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點P為棱AB的中點，且AB=2，A1A=

2

，AD=1．
（I）求證：AB₁⊥平面A₁PD₁；
（II）求二面角A₁-D₁P-B₁的正切值；
（III）求點D到平面A₁D₁P的距離．

Answer 1

分析：（I）證明AB₁垂直平面A₁PD₁內(nèi)的兩條相交直線：A₁D₁、A₁P，即可證明AB₁⊥平面A₁PD₁；
（II）設AB₁∩A₁P=E，過E作棱D₁P的垂線EF，垂足為F，連接B₁F，說明∠B₁FE為二面角A₁-D₁P-B₁的平面角，然后解三角形，求二面角A₁-D₁P-B₁的正切值；
（III）點D到平面A₁D₁P的距離轉化為點A到平面A₁D₁P的距離，然后求解即可．

解答：證明：（I）∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是長方體
∴A₁D₁⊥平面A₁ABB₁
且AB₁?平面A₁ABB₁
∴A₁D₁⊥AB₁
∵P為AB中點，A1A=

2

AB=2，AP=1
在Rt△A1AP中，tanAA1P=

1

2

=

2

2

在Rt△AB₁B中，tanB₁AB=

2

2

∴∠AA₁P=∠B₁AB
∵在Rt△A1AP中，∠AA1P+∠A1PA=

π

2

∴∠B1AB+∠A1PA=

π

2

∴A₁P⊥AB₁，又A₁D₁∩A₁P=A₁
∴AB₁⊥平面A₁PD₁（5分）

解：（II）設AB₁∩A₁P=E，∵AB₁⊥平面A₁PD₁∴B₁E⊥平面A₁PD₁
過E作棱D₁P的垂線EF，垂足為F，連接B₁F
則EF是B₁F在平面A₁PD₁內(nèi)的射影，由三垂線定理得B₁F⊥D₁P
∴∠B₁FE為二面角A₁-D₁P-B₁的平面角
∵在Rt△AEP中，EP=AP•sinEAP=

2

6

=

3

3

同理可得B1E=

2 6

3

又∵Rt△D₁A₁P∽Rt△EFP
∴

EF

A1D1

=

EP

D1P

∴EF=

EP•A1D1

A1D12+A1P2

=

3 3 ×1

2

=

3

6

在Rt△B₁EF中，tanB1FE=

B1E

EF

=4

2

（10分）

（III）∵AD∥A₁D₁，且A₁D₁?平面A₁D₁P，AD?平面A₁D₁P
∴AD∥平面A₁D₁P
∴點D到平面A₁D₁P的距離等于點A到平面A₁D₁P的距離
∵AE⊥平面A₁D₁P
∴線段AE的長為點A到平面A₁D₁P的距離
∵AE=

6

3

∴點D到平面A₁D₁P的距離為

6

3

（14分）

點評：本題考查直線與平面垂直的判定，二面角的求法，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．