Question

如圖，在四棱錐V-ABCD中，VA⊥底面ABCD，底面ABCD是邊長為2的正方形．
（1）求證：BD⊥VC；
（2）若VA=4，且E為VD中點(diǎn)，求異面直線AE與VC所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的性質(zhì),異面直線及其所成的角

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）連接AC，則AC⊥BD，證明VA⊥BD，可得BD⊥平面VAC，即可證明BD⊥VC；
（2）建立坐標(biāo)系，求出

AE

=（1，2，0），

VC

=（2，2，-4），利用向量的夾角公式，即可得出結(jié)論．

解答： （1）證明：連接AC，則AC⊥BD，
∵VA⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，
∴VA⊥BD，
∵VA∩AC=A，
∴BD⊥平面VAC，
∴BD⊥VC；
（2）解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A（0，0，0），E（1，2，0），V（0，0，4），C（2，2，0），
∴

AE

=（1，2，0），

VC

=（2，2，-4），
設(shè)異面直線AE與VC所成角為α，則cosα=|

2+4+0

5 • 24

|=

6

120

，
∴sinα=

70

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直的判定及異面直線所成的角，正確建立坐標(biāo)系，利用向量的．夾角公式是關(guān)鍵