Question

函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=x³+ax²-x+2
（1）如果函數(shù)g（x）單調(diào)減區(qū)間為（，1），求函數(shù)g（x）解析式；
（2）在（1）的條件下，求函數(shù)y=g（x）圖象過點p（1，1）的切線方程；
（3）若?x∈（0，+∞），使關(guān)于x的不等式2f（x）≥g′（x）+2成立，求實數(shù)a取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）求g（x）的導數(shù)，利用函數(shù)g（x）單調(diào)減區(qū)間為（，1），即是方程g'（x）=0的兩個根．然后解a即可．
（2）利用導數(shù)的幾何意義求切線方程．（3）將不等式2f（x）≥g′（x）+2成立，轉(zhuǎn)化為含參問題恒成立，然后利用導數(shù)求函數(shù)的最值即可．
解答：解：（1）∵g'（x）=3x²+2ax-1，若函數(shù)g（x）單調(diào)減區(qū)間為（，1），由g'（x）=3x²+2ax-1＜0，解為，
∴是方程g'（x）=0的兩個根，
∴，
∴g（x）=x³-x²-x+2…（4分）
（2）設切點為（x，y），則切線方程為，將（1，1）代入
得．
所以切線方程為y=-x+2或y=1…（9分）
（3）要使關(guān)于x的不等式2f（x）≥g′（x）+2成立，即2xlnx≥3x²+2ax-1+2成立．
所以2ax≤2xlnx-3x²-1，在x＞0時有解，所以最大值，
令，則，
當0＜x＜1時，h'（x）＞0，h（x）單增，
當x＞1時，h'（x）＜0，h（x）單減．
∴x=1時，h（x）max=-4，
∴2a≤-4，
即a≤-2…（14分）
點評：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，要求熟練掌握導數(shù)和函數(shù)單調(diào)性，最值之間的關(guān)系，考查學生的運算能力．對含有參數(shù)恒成立問題，則需要轉(zhuǎn)化為最值恒成立．