Question

一個幾何體是由圓柱ADD₁A₁和三棱錐E-ABC組合而成，點A、B、C在圓O的圓周上，其正（主）視圖、側（左）視圖的面積分別為10和12，如圖所示，其中EA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC，AE=2．

（1）求證：AC⊥BD；

（2）求二面角A-BD-C的平面角的大�。�

Answer 1

【答案】分析：方法一（幾何法）（1）由已知中EA⊥平面ABC，由線面垂直的性質可得ED⊥AC，結合AC⊥AB，由線面垂直的判定定理可得AC⊥平面EBD，再由線面垂直的性質得到AC⊥BD；
（2）由A、B、C在圓O的圓周上，且AB⊥AC，所以BC為圓O的直徑，又由幾何體正（主）視圖、側（左）視圖的面積分別為10和12，我們易構造r，h的方程組，求出r，h的值后，結合（1）的結論，可得∠AHC為二面角A-BD-C的平面角，解Rt△BAD，即可得到二面角A-BD-C的平面角的大�。�
方法二（向量法）（1）以點D為原點，DD₁、DE所在的射線分別為x軸、z軸建立如圖的空間直角坐標系，分別求出AC，BD的方向向量，由兩向量的數(shù)量積為0，即可得到AC⊥BD；
（2）分別求出平面ABD與平面BCD的法向量，代入向量夾角公式，即可得到二面角A-BD-C的平面角的大小．
解答：方法一（幾何法）：
證明：（1）因為EA⊥平面ABC，AC?平面ABC，所以EA⊥AC，即ED⊥AC．
又因為AC⊥AB，AB∩ED=A，所以AC⊥平面EBD．
因為BD?平面EBD，所以AC⊥BD．（4分）
解：（2）因為點A、B、C在圓O的圓周上，且AB⊥AC，所以BC為圓O的直徑．
設圓O的半徑為r，圓柱高為h，根據(jù)正（主）視圖、側（左）視圖的面積可得，
（6分）
解得
所以BC=4，．（7分）
過點C作CH⊥BD于點H，連接AH，
由（1）知，AC⊥BD，AC∩CH=C，所以BD⊥平面ACH．
因為AH?平面ACH，所以BD⊥AH．
所以∠AHC為二面角A-BD-C的平面角．（9分）
由（1）知，AC⊥平面ABD，AH?平面ABD，
所以AC⊥AH，即△CAH為直角三角形．
在Rt△BAD中，，AD=2，則．
由AB×AD=BD×AH，解得．
因為．（13分）
所以∠AHC=60°．
所以二面角A-BD-C的平面角大小為60°．（14分）
方法二（向量法）：
證明：（1）因為點A、B、C在圓O的圓周上，且AB⊥AC，所以BC為圓O的直徑．
設圓O的半徑為r，圓柱高為h，根據(jù)正（主）視圖、側（左）視圖的面積可得，
（2分）
解得
所以BC=4，．
以點D為原點，DD₁、DE所在的射線分別為x軸、z軸建立如圖的空間直角坐標系
D-xyz，則D（0，0，0），D₁（4，0，0），A（0，0，2），B（2，2，2），C（2，-2，2），，．
因為，
所以．
所以AC⊥BD．（9分）
解：（2）設n=（x，y，z）是平面BCD的法向量，因為，
所以即
取z=-1，則n=（1，0，-1）是平面BCD的一個法向量．（11分）
由（1）知，AC⊥BD，又AC⊥AB，AB∩BD=B，所以AC⊥平面ABD．
所以是平面ABD的一個法向量．（12分）
因為，
所以．
而等于二面角A-BD-C的平面角，
所以二面角A-BD-C的平面角大小為60°．（14分）
點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求示，直線與平面垂直的性質，其中方法一中的關鍵是熟練掌握線面垂直與線線垂直的轉化，結合二面角的定義，確定∠AHC為二面角A-BD-C的平面角，方法二的關鍵是建立空間坐標系，將直線的垂直及二面角問題轉化為向量夾角問題．